Задание 797

Дано: окружности радиусов \(r\) и \(R\) касаются внешним образом в точке \(A\); прямая \(MK\) касается первой окружности в точке \(M\), второй — в точке \(K\). Доказать: \(\angle KAM = 90^\circ\).

1. Проведём через \(A\) общую касательную окружностей (она перпендикулярна линии центров). Она пересекает отрезок \(MK\) в некоторой точке \(P\).

2. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из точки \(P\) к первой окружности: \(PM = PA\); ко второй: \(PK = PA\).

3. Треугольники \(PAM\) и \(PAK\) равнобедренные, поэтому \(\angle PAM = \angle PMA\) и \(\angle PAK = \angle PKA\).

4. В треугольнике \(KAM\) сумма углов: \(\angle PMA + \angle PKA + (\angle PAM + \angle PAK) = 180^\circ\), то есть \(2(\angle PAM + \angle PAK) = 180^\circ\). Отсюда \(\angle KAM = \angle PAM + \angle PAK = 90^\circ\).

1. Центры и точка касания лежат на одной прямой, поэтому \(O_1O_2 = r + R\).

2. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: \(O_1M \perp MK\), \(O_2K \perp MK\). Значит, \(O_1MKO_2\) — прямоугольная трапеция.

3. Проведём \(O_1H \perp O_2K\). Тогда \(O_1MKH\) — прямоугольник: \(O_1H = MK\), \(HK = r\), \(O_2H = R - r\).

4. По теореме Пифагора в треугольнике \(O_1HO_2\):

   \[MK = O_1H = \sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}.\]