Какие утверждения верны?

Внешняя общая касательная оставляет обе окружности по одну сторону от себя

Внутренняя общая касательная проходит между окружностями

Четыре общие касательные бывают, когда одна окружность лежит вне другой

У концентрических окружностей одна общая касательная

Общие касательные двух окружностей

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Взаимное расположение двух окружностей

Коротко о главном

Прямая, которая касается каждой из двух окружностей, — их общая касательная. Число общих касательных зависит только от расположения окружностей: от 0 (одна внутри другой) до 4 (одна вне другой).

d < R - r \to 0, \quad d = R - r \to 1, \quad R - r < d < R + r \to 2, \quad d = R + r \to 3, \quad d > R + r \to 4

Подробное объяснение

Ремень на двух шкивах разного размера — это две общие касательные к двум окружностям. Если ремень перекрестить «восьмёркой», получатся другие две — проходящие между шкивами. Значит, у двух окружностей, лежащих одна вне другой, общих касательных четыре.

Чтобы разобраться в теме, нужны две вещи: признак касательной из 7 класса (прямая, перпендикулярная радиусу в его конце на окружности, — касательная) и теорема о расположении двух окружностей из предыдущей темы.

Две окружности с центрами O1 и O2, лежащие одна вне другой. Две внешние касательные не проходят между окружностями, две внутренние пересекаются на отрезке между центрами. — Если одна окружность лежит вне другой, у них четыре общие касательные — две внешние и две внутренние.

Внешние и внутренние касательные

Внешняя общая касательная — обе окружности лежат по одну сторону от неё.
Внутренняя общая касательная — окружности лежат по разные стороны, касательная проходит между ними.

Сколько общих касательных в каждом случае

Пусть радиусы $R \ge r$ , расстояние между центрами $$d$$ .

Одна окружность внутри другой ( $$d < R - r$$ ). Общих касательных нет: любая касательная к малой окружности проходит через её точку, а эта точка внутри большой — такая прямая для большой окружности секущая.
Внутреннее касание ( $$d = R - r$$ ). Одна общая касательная — прямая через точку касания $$K$$ , перпендикулярная $$O_1O_2$$ . Она перпендикулярна обоим радиусам $$O_1K$$ и $$O_2K$$ (они лежат на прямой центров), поэтому по признаку касается обеих окружностей.
Пересечение ( $$R - r < d < R + r$$ ). Две общие касательные, обе внешние. Внутренней нет: окружности перекрываются, и прямой их не разделить.
Внешнее касание ( $$d = R + r$$ ). Три: две внешние и одна внутренняя — через точку касания перпендикулярно прямой центров.
Одна окружность вне другой ( $$d > R + r$$ ). Четыре: две внешние и две внутренние.

Концентрические окружности — частный случай первого: общих касательных нет.

Длина отрезка общей касательной

Отрезок между точками касания $$A$$ и $$B$$ находится по теореме Пифагора. Радиусы $$O_1A$$ и $$O_2B$$ перпендикулярны касательной, поэтому параллельны. Через $$O_2$$ проводят прямую, параллельную $$AB$$ ; получается прямоугольник и прямоугольный треугольник с гипотенузой $$d$$ .

Для внешней касательной второй катет равен $$R - r$$ : $AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ .
Для внутренней (радиусы направлены в разные стороны) он равен $$R + r$$ : $AB = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ .

Формулы не нужно заучивать — достаточно помнить построение.

Как решать задачи

Определите расположение окружностей: сравните $$d$$ с $$R + r$$ и $$R - r$$ .
По расположению назовите число общих касательных: 0, 1, 2, 3 или 4.
Если нужно доказать, что прямая — общая касательная, проверьте признак касательной для каждой окружности отдельно.
Для длины отрезка касательной проведите радиусы в точки касания и прямую через меньший центр параллельно касательной — дальше теорема Пифагора.

Разобранные примеры

База

Считаем касательные

Условие

Радиусы двух окружностей 7 см и 2 см. Сколько у них общих касательных, если расстояние между центрами: а) 3 см; б) 9 см; в) 6 см?

Дано

$$R = 7$$ см
$$r = 2$$ см

Найти

число общих касательных

Решение

$$R + r = 9$$ см, $$R - r = 5$$ см.

а) $$3 < 5$$ — малая окружность внутри большой, общих касательных нет. б) $$d = 9 = R + r$$ — внешнее касание, касательных три. в) $$5 < 6 < 9$$ — окружности пересекаются, касательных две.

Ответ: а) ни одной; б) три; в) две

Средний

Расстояние по числу касательных

Условие

У двух окружностей радиусов 6 см и 2 см ровно одна общая касательная. Найдите расстояние между их центрами.

Дано

$$R = 6$$ см
$$r = 2$$ см
общая касательная одна

Найти

$$d$$

Решение

Ровно одна общая касательная бывает только при внутреннем касании, тогда $$d = R - r = 6 - 2 = 4$$ см.

Ответ: 4 см

Сложный

Длина внешней касательной

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов 11 см и 3 см равно 17 см. Найдите длину отрезка внешней общей касательной между точками касания.

Дано

$$R = 11$$ см
$$r = 3$$ см
$$d = 17$$ см

Найти

$$AB$$

Решение

$O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$ , поэтому $O_1A \parallel O_2B$ . Проведём $O_2H \parallel AB$ , $$H$$ на $$O_1A$$ . Четырёхугольник $$ABO_2H$$ — прямоугольник: $$HO_2 = AB$$ , $$AH = O_2B = 3$$ см, $$O_1H = 11 - 3 = 8$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$O_1HO_2$$ : $HO_2 = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см

Типичные ошибки

Путают внешнюю и внутреннюю касательную

Почему неверно

«Внешняя» — не та, что «снаружи рисунка», а та, относительно которой обе окружности по одну сторону. Касательная, проходящая между окружностями, — внутренняя.

Как правильно

Посмотрите, с какой стороны от прямой лежит каждая окружность: с одной — внешняя, с разных — внутренняя.

Считают, что у пересекающихся окружностей четыре касательные

Почему неверно

Внутренняя касательная должна пройти между окружностями, а пересекающиеся окружности перекрываются — между ними прямой не провести.

Как правильно

Сначала определите расположение окружностей, затем назовите число касательных по таблице: 0, 1, 2, 3, 4.

Во внутренней касательной вычитают радиусы

Почему неверно

Для внутренней касательной радиусы в точки касания направлены в разные стороны, и катет треугольника равен $$R + r$$ , а не $$R - r$$ .

Как правильно

Нарисуйте радиусы в точки касания и проследите, в какую сторону от касательной они идут; от этого зависит, сумма или разность.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Радиусы окружностей 6 см и 4 см, расстояние между центрами 15 см. Сколько у них общих касательных?

Подсказка

Сначала определите взаимное расположение окружностей.

Решение

$$R + r = 10$$ см, $$d = 15 > 10$$ — окружности лежат одна вне другой. В этом случае общих касательных четыре: две внешние и две внутренние.

Ответ

Четыре

База Задача 2

Радиусы окружностей 9 см и 5 см, расстояние между центрами 4 см. Сколько у них общих касательных?

Подсказка

Сравните d с разностью радиусов.

Решение

$$R - r = 9 - 5 = 4$$ см $$= d$$ — окружности касаются внутренним образом. Общая касательная одна: прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно прямой центров.

Ответ

Одна

Средний Задача 3

Две окружности имеют ровно три общие касательные. Радиус одной 7 см, расстояние между центрами 12 см. Найдите радиус другой.

Подсказка

Какое расположение окружностей даёт три общие касательные?

Решение

Три общие касательные бывают только при внешнем касании, тогда $$d = R + r$$ . Радиус другой окружности $$12 - 7 = 5$$ см.

Ответ

5 см

Средний Задача 4

Окружности радиусов 3 см и 8 см касаются внешним образом в точке K. Прямая l проходит через K перпендикулярно прямой центров. Докажите, что l — общая касательная этих окружностей.

Подсказка

Воспользуйтесь признаком касательной для каждой окружности.

Решение

Дано: окружности с центрами $$O_1$$ , $$O_2$$ касаются в точке $$K$$ , $l \ni K$ , $l \perp O_1O_2$ . Доказать: $$l$$ касается обеих окружностей.

Точка касания лежит на прямой центров, поэтому $$O_1K$$ — радиус первой окружности, лежащий на $$O_1O_2$$ , и $l \perp O_1K$ . Прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна ему — по признаку касательной $$l$$ касается первой окружности. Так же $l \perp O_2K$ , и $$l$$ касается второй.

Ответ

Утверждение доказано: l перпендикулярна обоим радиусам в точке K

Сложный Задача 5

Окружности радиусов 9 см и 4 см касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их внешней общей касательной между точками касания.

Подсказка

Проведите радиусы в точки касания и через центр меньшей окружности — прямую, параллельную касательной.

Решение

Пусть $$A$$ и $$B$$ — точки касания, $$O_1A = 9$$ см, $$O_2B = 4$$ см, $$d = O_1O_2 = 9 + 4 = 13$$ см. Радиусы $$O_1A$$ и $$O_2B$$ перпендикулярны касательной, значит, параллельны друг другу. Проведём через $$O_2$$ прямую, параллельную $$AB$$ , до пересечения с $$O_1A$$ в точке $$H$$ . $$ABO_2H$$ — прямоугольник, $$AB = HO_2$$ , $$O_1H = 9 - 4 = 5$$ см.

Из прямоугольного треугольника $$O_1HO_2$$ : $AB = HO_2 = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ

12 см

Сложный Задача 6

Окружности радиусов 5 см и 3 см, расстояние между центрами 10 см. Найдите длину отрезка внутренней общей касательной между точками касания.

Подсказка

Продлите радиус большей окружности за центр на длину меньшего радиуса.

Решение

Пусть $$A$$ , $$B$$ — точки касания, $$O_1A = 5$$ см, $$O_2B = 3$$ см. Радиусы перпендикулярны касательной и направлены в разные стороны от неё. Продлим $$AO_1$$ за точку $$A$$ на отрезок $$AH = 3$$ см. Тогда $$ABO_2H$$ — прямоугольник ( $AH \parallel BO_2$ , $$AH = BO_2$$ , углы прямые), $$AB = HO_2$$ , а $$O_1H = 5 + 3 = 8$$ см.

Из прямоугольного треугольника $$O_1HO_2$$ : $AB = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ см.

Ответ

6 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте две окружности (стакан и монета) на расстоянии друг от друга и приложите линейку так, чтобы она касалась обеих. Найдите все положения: сверху, снизу и два «крест-накрест». Затем сдвиньте окружности, чтобы они пересекались, и проверьте, что положений «крест-накрест» больше нет.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько общих касательных у окружностей, касающихся внешним образом? 2) Чем внутренняя касательная отличается от внешней? 3) Почему у концентрических окружностей нет общих касательных?

На что обратить внимание. Число касательных ребёнок должен не заучивать, а получать из расположения окружностей. Полезно, чтобы он сам нарисовал все пять случаев и подписал под каждым $$d$$ и число касательных.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 78	755