Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 798

Задача 1

Условие (кратко)

Даны две окружности радиусов r и R, расстояние между центрами d (d > R + r). Найдите отрезок их общей внешней касательной.

Решение

Дано

окружности с центрами $$O_1$$
$$O_2$$ и радиусами $r \le R$
$$O_1O_2 = d$$
$$MK$$ — общая внешняя касательная ( $$M$$ и $$K$$ — точки касания)

Найти

$$MK$$

$O_1M \perp MK$ и $O_2K \perp MK$ , радиусы лежат по одну сторону от касательной, поэтому $$O_1MKO_2$$ — прямоугольная трапеция (при $$r = R$$ — прямоугольник).
Проведём $O_1H \perp O_2K$ . Тогда $$O_1MKH$$ — прямоугольник, $$O_1H = MK$$ , $$O_2H = R - r$$ .
По теореме Пифагора в треугольнике $$O_1HO_2$$ с гипотенузой $$O_1O_2 = d$$ :
$MK = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}.$

Ответ

√(d² − (R − r)²)

Почему так

Отрезок внешней касательной — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой d и катетом, равным разности радиусов.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 2

Условие (кратко)

Даны две окружности радиусов r и R, расстояние между центрами d (d > R + r). Найдите отрезок их общей внутренней касательной.

Решение

Дано

окружности с центрами $$O_1$$
$$O_2$$ и радиусами $$r$$
$$R$$
$$O_1O_2 = d > R + r$$
$$MK$$ — общая внутренняя касательная ( $$M$$ и $$K$$ — точки касания)

Найти

$$MK$$

$O_1M \perp MK$ и $O_2K \perp MK$ , а центры лежат по разные стороны от касательной.
Продолжим радиус $$O_2K$$ за точку $$K$$ на отрезок $$KH = r$$ . Отрезки $$O_1M$$ и $$KH$$ равны, параллельны и лежат по одну сторону от $$MK$$ , поэтому $$O_1MKH$$ — прямоугольник: $$O_1H = MK$$ , $O_1H \perp O_2H$ .
В прямоугольном треугольнике $$O_1HO_2$$ : $$O_2H = R + r$$ , гипотенуза $$O_1O_2 = d$$ . По теореме Пифагора
$MK = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}.$

Условие $$d > R + r$$ означает, что окружности лежат одна вне другой — только тогда внутренняя касательная существует.

Ответ

√(d² − (R + r)²)

Почему так

Отрезок внутренней касательной — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой d и катетом, равным сумме радиусов.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-9/upr-798/