Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 799

Задача 1

Условие (кратко)

Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших полуокружности, равны.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , $$AA_1$$ — диаметр, $AA_1 \perp BB_1$ , $$H$$ — точка их пересечения. Доказать: $\smile AB = \smile AB_1$ (дуги меньше полуокружности).

Треугольники $$OHB$$ и $$OHB_1$$ прямоугольные, $$OB = OB_1$$ (радиусы), катет $$OH$$ общий. Они равны по гипотенузе и катету, поэтому $\angle HOB = \angle HOB_1$ . (Если хорда проходит через центр, то $$H = O$$ и оба угла $$AOB$$ , $$AOB_1$$ прямые.)
Точка $$H$$ лежит на прямой $$AA_1$$ . Если $$H$$ лежит на луче $$OA$$ , то $\angle AOB = \angle HOB$ и $\angle AOB_1 = \angle HOB_1$ ; если на луче $$OA_1$$ , то $\angle AOB = 180^\circ - \angle HOB$ и $\angle AOB_1 = 180^\circ - \angle HOB_1$ . В обоих случаях $\angle AOB = \angle AOB_1$ .
Градусная мера дуги, меньшей полуокружности, равна центральному углу, который на неё опирается. Значит, $\smile AB = \angle AOB = \angle AOB_1 = \smile AB_1$ .

Ответ

Утверждение доказано: дуги AB и AB₁ равны

Почему так

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам и хорду, и центральный угол, а равным центральным углам соответствуют равные дуги.

Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).