Коротко о главном
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Дуга, лежащая внутри него, измеряется тем же числом градусов, что и угол; другая дуга с теми же концами дополняет её до 360°.
Подробное объяснение
Посмотрите на часы. За час минутная стрелка проходит полный круг, за 15 минут — четверть круга. Угол между положениями стрелки — 90°, и кусок циферблата, который она «заметает», тоже удобно считать равным 90°. Так и измеряют дуги окружности — в градусах, через угол при центре.
Дуга и её обозначение
Две точки \(A\) и \(B\) окружности делят её на две дуги. Чтобы не путать, на каждой дуге отмечают ещё одну точку: дуга \(ALB\) и дуга \(AMB\). Если ясно, о какой дуге речь, пишут просто \(\overset{\frown}{AB}\).
Если отрезок \(AB\) — диаметр, обе дуги называются полуокружностями.
Центральный угол
Угол с вершиной в центре \(O\) окружности называют центральным. Его стороны пересекают окружность в точках \(A\) и \(B\), и углу \(AOB\) соответствуют две дуги с концами \(A\) и \(B\):
- дуга, лежащая внутри угла, — она меньше полуокружности (если угол не развёрнутый);
- вторая дуга — больше полуокружности.
Как измерить дугу в градусах
- Дуга меньше полуокружности (или полуокружность) равна центральному углу: \(\overset{\frown}{AB} = \angle AOB\).
- Дуга больше полуокружности равна \(360^\circ - \angle AOB\).
Отсюда главное следствие: две дуги с общими концами в сумме дают 360°. Вся окружность — \(360^\circ\), полуокружность — \(180^\circ\).
Градусную меру дуги обозначают так же, как саму дугу: запись \(\overset{\frown}{AB} = 70^\circ\) читают «дуга \(AB\) равна 70°».
Хорды и дуги
Отрезок, соединяющий концы дуги, — хорда; говорят, что хорда стягивает дугу. Если хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по трём сторонам (две стороны — радиусы). Значит, равны центральные углы, а с ними и дуги: меньшая дуга \(AB\) равна меньшей дуге \(CD\), а большие дуги тоже равны.
Удобно запомнить частные случаи. Если центральный угол \(60^\circ\), треугольник \(AOB\) равносторонний и хорда равна радиусу. Если угол \(90^\circ\), треугольник прямоугольный равнобедренный и хорда равна \(R\sqrt{2}\). Если угол \(180^\circ\), хорда — диаметр, \(2R\).
Важно: градусы дуги — не длина
Дуга в \(90^\circ\) у маленькой окружности короче, чем у большой. Градусная мера говорит, какую долю окружности занимает дуга, а не сколько в ней сантиметров.
Как решать задачи
- Отметьте центр и проведите радиусы к концам дуги — появится центральный угол.
- Определите, какая дуга нужна: внутри угла (меньшая) или другая (большая).
- Меньшая дуга равна центральному углу, большая — \(360^\circ\) минус угол.
- Если окружность разбита на несколько дуг, сумма всех дуг равна \(360^\circ\); при отношении дуг вводите \(x\).
- Для длины хорды рассмотрите треугольник \(AOB\): он равнобедренный, боковые стороны — радиусы.
Разобранные примеры
Две дуги по центральному углу
Центральный угол \(AOB\) равен \(48^\circ\). Найдите обе дуги с концами \(A\) и \(B\).
- \(\angle AOB = 48^\circ\)
- две дуги \(AB\)
Дуга внутри угла равна углу: \(48^\circ\). Вторая дуга: \(360^\circ - 48^\circ = 312^\circ\).
Дуги в отношении
Точки \(A\) и \(B\) делят окружность на дуги, которые относятся как \(7 : 11\). Найдите центральный угол \(AOB\).
- дуги относятся как \(7 : 11\)
- \(\angle AOB\)
Пусть дуги \(7x\) и \(11x\), тогда \(18x = 360^\circ\), \(x = 20^\circ\). Дуги равны \(140^\circ\) и \(220^\circ\). Центральный угол равен меньшей дуге: \(\angle AOB = 140^\circ\).
Хорда по центральному углу
Радиус окружности 12 см, центральный угол \(AOB = 90^\circ\). Найдите хорду \(AB\).
- \(R = 12\) см
- \(\angle AOB = 90^\circ\)
- \(AB\)
Треугольник \(AOB\) прямоугольный с катетами \(OA = OB = 12\) см. По теореме Пифагора \(AB^2 = 144 + 144 = 288\), \(AB = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\) см.
Типичные ошибки
Центральному углу равна только дуга, лежащая внутри него. Вторая дуга с теми же концами больше полуокружности, а угол меньше \(180^\circ\) — они не могут быть равны.
Большая дуга \(= 360^\circ - \angle AOB\). Проверка: две дуги вместе дают \(360^\circ\).
Дуги по \(60^\circ\) на окружностях радиуса 1 см и 10 см имеют разную длину. Градусы показывают долю окружности.
В ответе с градусами пишите «°», а длину хорды или дуги ищите отдельно — через треугольник или формулу длины.
Точки \(A\) и \(B\) всегда задают две дуги. В задаче «найдите дугу \(AB\)» без уточнения часто нужно назвать обе или выбрать по рисунку.
Отмечайте промежуточную точку (\(ALB\)) или пишите, какая дуга имеется в виду: меньшая или большая.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой угол называется центральным углом окружности?
Показать ответ
Ответ: Б) Угол с вершиной в центре окружности
Центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности.
-
Центральный угол равен 135°. Сколько градусов в большей дуге с теми же концами?
Показать ответ
Ответ: 225
Меньшая дуга равна \(135^\circ\), большая — \(360^\circ - 135^\circ = 225^\circ\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Полуокружность равна 180°; Б) Сумма двух дуг с общими концами равна 360°; Г) Равные хорды стягивают равные дуги
Большая дуга равна \(360^\circ\) минус центральный угол, а не самому углу. Равные хорды дают равные треугольники \(AOB\), значит, равные центральные углы и равные дуги.
-
Хорда AB проходит через центр окружности. Чему равна каждая из дуг AB?
Показать ответ
Ответ: Б) 180°
Хорда через центр — диаметр, он делит окружность на две полуокружности по \(180^\circ\).
-
Окружность разделена точками на 8 равных дуг. Сколько градусов в каждой дуге?
Показать ответ
Ответ: 45
Делим полный угол на 8 частей, \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Центральный угол AOB окружности равен 72°. Найдите градусные меры двух дуг с концами A и B.
Подсказка
Меньшая дуга равна центральному углу, а вместе дуги дают 360°.
Решение
Меньшая дуга лежит внутри угла и равна ему, \(\overset{\frown}{AB} = 72^\circ\). Большая дуга равна \(360^\circ - 72^\circ = 288^\circ\).
Ответ
Точки M и N делят окружность на две дуги. Одна из них равна 205°. Чему равна другая дуга? Какая из них меньше полуокружности?
Подсказка
Сумма двух дуг с общими концами равна 360°.
Решение
Другая дуга равна \(360^\circ - 205^\circ = 155^\circ\). Полуокружность — это \(180^\circ\), поэтому меньше полуокружности дуга в \(155^\circ\).
Ответ
Радиус окружности с центром O равен 9 см, центральный угол AOB равен 60°. Найдите хорду AB.
Подсказка
Какой треугольник AOB, если OA = OB и угол между ними 60°?
Решение
\(OA = OB = 9\) см, поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный и углы при основании равны \(\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\). Все углы по \(60^\circ\) — треугольник равносторонний, \(AB = 9\) см.
Ответ
Точки A, B и C делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 4. Найдите эти дуги.
Подсказка
Три дуги вместе составляют всю окружность, 360°.
Решение
Пусть дуги равны \(2x\), \(3x\) и \(4x\). Тогда \(2x + 3x + 4x = 360^\circ\), \(9x = 360^\circ\), \(x = 40^\circ\). Дуги равны \(80^\circ\), \(120^\circ\) и \(160^\circ\).
Ответ
В окружности радиуса 5 см проведена хорда AB длиной 5√2 см. Найдите градусные меры двух дуг с концами A и B.
Подсказка
Проверьте, не прямоугольный ли треугольник AOB, по обратной теореме Пифагора.
Решение
В треугольнике \(AOB\) стороны \(OA = OB = 5\) см, \(AB = 5\sqrt{2}\) см. Так как \(5^2 + 5^2 = 50 = (5\sqrt{2})^2\), по теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle AOB = 90^\circ\). Значит, меньшая дуга \(AB\) равна \(90^\circ\), большая — \(360^\circ - 90^\circ = 270^\circ\).
Ответ
На окружности по порядку отмечены точки A, B, C, D. Дуга AB равна 70°, дуга BC — 110°, дуга CD — 95° (дуги между соседними точками). Найдите центральный угол AOD и выясните, является ли AC диаметром.
Подсказка
Найдите четвёртую дугу DA, а затем сложите дуги AB и BC.
Решение
Четвёртая дуга \(\overset{\frown}{DA} = 360^\circ - 70^\circ - 110^\circ - 95^\circ = 85^\circ\). Она меньше полуокружности, поэтому \(\angle AOD = 85^\circ\). Дуга \(ABC = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\) — полуокружность, значит, \(AC\) — диаметр.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите круглую пиццу или тарелку и нарежьте «кусок» от центра. Угол куска у центра — центральный угол, корочка куска — дуга, и в градусах они равны. Оставшаяся корочка — это 360° минус кусок. Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равна дуга, если центральный угол 100°, а другая дуга с теми же концами? 2) Чему равна полуокружность? 3) Почему равные хорды стягивают равные дуги? На что обратить внимание. Ребёнок должен всегда уточнять, о какой из двух дуг идёт речь, и помнить, что дуги с общими концами дают 360°.