Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 800

Задача 1

Условие (кратко)

Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если дуги AB и CD равны, то AB = CD.

Решение

Дано: $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ лежат на окружности с центром $$O$$ , $\smile AB = \smile CD$ . Доказать: $$AB = CD$$ .

Если дуги меньше полуокружности, то $\angle AOB = \smile AB$ и $\angle COD = \smile CD$ , значит, $\angle AOB = \angle COD$ . Если дуги больше полуокружности, то $\angle AOB = 360^\circ - \smile AB = 360^\circ - \smile CD = \angle COD$ . Если обе дуги — полуокружности, то $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры и равны сразу.
В треугольниках $$AOB$$ и $$COD$$ : $$OA = OC$$ , $$OB = OD$$ (радиусы), $\angle AOB = \angle COD$ . Они равны по первому признаку, поэтому $$AB = CD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AB = CD

Почему так

Равным дугам соответствуют равные центральные углы, а равнобедренные треугольники с равными углами при вершине и равными боковыми сторонами равны.

Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).