Задача 1
Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая m через A пересекает окружности в точках C и D. Докажите, что угол CBD не зависит от выбора прямой m.
Решение
Дано: окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\); прямая \(m\) проходит через \(A\) и пересекает \(\omega_1\) в точке \(C\), \(\omega_2\) — в точке \(D\). Доказать: \(\angle CBD\) не зависит от прямой \(m\).
-
Рассмотрим случай, когда \(A\) лежит между \(C\) и \(D\), то есть \(C\) и \(D\) — по разные стороны от прямой \(AB\). Хорда \(AB\) делит каждую окружность на две дуги, по одной с каждой стороны от прямой \(AB\).
-
Вписанный угол \(ACB\) окружности \(\omega_1\) опирается на дугу \(AB\), лежащую по другую сторону от \(AB\), чем точка \(C\): \(\angle ACB = \dfrac{1}{2}\smile AB_{(1)}\). Так же \(\angle ADB = \dfrac{1}{2}\smile AB_{(2)}\) — дуга окружности \(\omega_2\) по другую сторону от \(AB\), чем \(D\).
-
Пока \(C\) и \(D\) остаются по своим сторонам от прямой \(AB\), эти дуги одни и те же для любой прямой \(m\). Значит, углы \(C\) и \(D\) треугольника \(CBD\) не меняются, и
\[\angle CBD = 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left(\smile AB_{(1)} + \smile AB_{(2)}\right)\]тоже не зависит от выбора прямой \(m\).
Ответ
Углы C и D треугольника CBD — вписанные углы, опирающиеся на неизменные дуги AB, поэтому и третий угол постоянен.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».