Какой угол называется вписанным?

Угол с вершиной в центре окружности

Угол между касательной и радиусом

Любой угол внутри окружности

Какие утверждения верны?

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой

Вписанный угол может быть тупым

Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу

Вписанный угол ABC прямой. Что можно сказать об отрезке AC?

Ничего определённого

Вписанный угол — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Центральный угол и градусная мера дуги

Коротко о главном

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность. Он равен половине дуги, на которую опирается, то есть вдвое меньше центрального угла на той же дуге.

\angle ABC = \frac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}

Подробное объяснение

Футболист бьёт по воротам. Под каким углом он видит ворота из разных точек поля? Оказывается, есть целая дуга окружности, из любой точки которой ворота видны под одним и тем же углом. Это следствие теоремы о вписанном угле.

Что такое вписанный угол

Угол $$ABC$$ называется вписанным, если его вершина $$B$$ лежит на окружности, а стороны $$BA$$ и $$BC$$ пересекают окружность в точках $$A$$ и $$C$$ . Дуга $$AC$$ , лежащая внутри угла, — дуга, на которую опирается угол.

Не путайте с центральным углом: у центрального вершина в центре, у вписанного — на самой окружности.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

\angle ABC = \frac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}.

Центральный угол $$AOC$$ , опирающийся на ту же дугу (меньше полуокружности), равен дуге. Поэтому вписанный угол вдвое меньше центрального.

Окружность с центром O. Вписанный угол ABC с вершиной на окружности и центральный угол AOC опираются на одну дугу AC в 110°. Вписанный угол равен 55°, центральный — 110°. — Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Почему это верно

Начнём с простого случая: сторона $$BC$$ проходит через центр $$O$$ . Треугольник $$ABO$$ равнобедренный ( $$OA = OB$$ — радиусы), углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$ . Угол $$AOC$$ — внешний угол этого треугольника, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle AOC = 2\angle ABC$ . А $\angle AOC = \overset{\frown}{AC}$ , значит, $\angle ABC = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$ .

Если центр лежит внутри угла, проведём диаметр $$BD$$ : он делит угол на два, для каждого работает простой случай, и половинки дуг складываются. Если центр снаружи угла — так же, только половинки вычитаются.

Два следствия

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны — каждый равен половине этой дуги. Отсюда и «футбольный» факт: из всех точек одной дуги отрезок виден под одинаковым углом.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой: $\dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ . Верно и обратное: если вписанный угол прямой, его стороны отсекают диаметр.

Слева три вписанных угла с вершинами B₁, B₂, B₃ опираются на одну дугу AC и равны. Справа угол MKN опирается на полуокружность, MN — диаметр, угол при K прямой. — Углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Второе следствие очень полезно: в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы — центр описанной около него окружности, и медиана к гипотенузе равна её половине.

Как решать задачи

Найдите вершину угла. Если она на окружности — это вписанный угол.
Определите дугу, на которую он опирается: ту, что лежит внутри угла, между его сторонами.
Угол $$=$$ половина дуги; дуга $$=$$ удвоенный угол. Не забывайте, что дуга может быть больше $180^\circ$ — тогда угол тупой.
Если в задаче есть диаметр — ищите прямые вписанные углы.
Если два угла опираются на одну дугу — они равны, это часто сокращает решение.

Разобранные примеры

База

Угол по дуге

Условие

Вписанный угол $$ABC$$ опирается на дугу $$AC$$ , равную $96^\circ$ . Найдите угол $$ABC$$ и центральный угол $$AOC$$ .

Дано

$\overset{\frown}{AC} = 96^\circ$

Найти

$\angle ABC$
$\angle AOC$

Решение

$\angle ABC = \dfrac{1}{2} \cdot 96^\circ = 48^\circ$ . Центральный угол равен дуге: $\angle AOC = 96^\circ$ .

Ответ: ∠ABC = 48°, ∠AOC = 96°

Средний

Треугольник на диаметре

Условие

Треугольник $$MNK$$ вписан в окружность, $$MK$$ — диаметр, дуга $$NK$$ (не содержащая $$M$$ ) равна $64^\circ$ . Найдите углы треугольника.

Дано

$$MK$$ — диаметр
$\overset{\frown}{NK} = 64^\circ$

Найти

углы $\triangle MNK$

Решение

Угол $$N$$ опирается на полуокружность, $\angle N = 90^\circ$ . Угол $$M$$ опирается на дугу $$NK$$ , $\angle M = 32^\circ$ . Тогда $\angle K = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$ .

Ответ: ∠M = 32°, ∠N = 90°, ∠K = 58°

Сложный

Тупой вписанный угол

Условие

Хорда $$AC$$ стягивает дугу $80^\circ$ . Точка $$B$$ лежит на этой меньшей дуге. Найдите угол $$ABC$$ .

Дано

меньшая $\overset{\frown}{AC} = 80^\circ$
$$B$$ на ней

Найти

$\angle ABC$

Решение

Угол $$ABC$$ опирается на дугу $$AC$$ , не содержащую $$B$$ , то есть на большую дугу: $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$ . Значит, $\angle ABC = 140^\circ$ .

Ответ: 140°

Типичные ошибки

Вписанный угол приравнивают дуге

Почему неверно

Дуге равен центральный угол. Вписанный угол на той же дуге вдвое меньше.

Как правильно

Сначала посмотрите, где вершина: в центре — угол равен дуге, на окружности — половине дуги.

Берут не ту дугу

Почему неверно

Вписанный угол опирается на дугу, лежащую между его сторонами, — она не содержит вершину угла. Если взять другую дугу, ответ будет неверным (а иногда и больше $90^\circ$ вместо меньше).

Как правильно

Проведите стороны угла до пересечения с окружностью и обведите дугу между ними, на которой нет вершины.

Считают, что все углы на хорде равны

Почему неверно

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $$AC$$ , равны, только если вершины лежат по одну сторону от хорды. Вершины по разные стороны опираются на разные дуги, и углы в сумме дают $180^\circ$ .

Как правильно

Проверяйте, на одной ли дуге лежат вершины углов.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вписанный угол опирается на дугу 136°. Найдите этот угол.

Подсказка

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Решение

$\angle = \dfrac{1}{2} \cdot 136^\circ = 68^\circ$ .

Ответ

68°

База Задача 2

Вписанный угол ABC равен 38°. Найдите дугу AC, на которую он опирается, и центральный угол AOC.

Подсказка

Дуга вдвое больше вписанного угла, а центральный угол равен дуге.

Решение

$\overset{\frown}{AC} = 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ$ . Дуга меньше полуокружности, поэтому $\angle AOC = 76^\circ$ .

Ответ

◡AC = 76°, ∠AOC = 76°

Средний Задача 3

Треугольник ABC вписан в окружность, AC — её диаметр, ∠BAC = 27°. Найдите углы B и C треугольника.

Подсказка

На какую дугу опирается угол B?

Решение

Угол $$B$$ опирается на полуокружность, поэтому $\angle B = 90^\circ$ . Тогда $\angle C = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$ .

Ответ

∠B = 90°, ∠C = 63°

Средний Задача 4

Точки A, B, C, D лежат на окружности, ∠ACB = 41°, а точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите угол ADB.

Подсказка

Оба угла опираются на одну и ту же дугу AB.

Решение

Углы $$ACB$$ и $$ADB$$ вписанные, их вершины лежат на одной дуге, и оба опираются на дугу $$AB$$ , не содержащую $$C$$ и $$D$$ . По следствию 1 они равны, $\angle ADB = 41^\circ$ .

Ответ

41°

Сложный Задача 5

Точки A, B, C делят окружность на дуги AB, BC, CA (не содержащие третьей точки), которые относятся как 3, 5 и 10. Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Сначала найдите дуги, затем каждый угол как половину противолежащей дуги.

Решение

Дуги равны $$3x$$ , $$5x$$ , $$10x$$ , $18x = 360^\circ$ , $x = 20^\circ$ , то есть $60^\circ$ , $100^\circ$ и $200^\circ$ . Угол $$C$$ опирается на дугу $$AB$$ , $\angle C = 30^\circ$ ; $\angle A = \dfrac{100^\circ}{2} = 50^\circ$ ; $\angle B = \dfrac{200^\circ}{2} = 100^\circ$ . Проверка $30^\circ + 50^\circ + 100^\circ = 180^\circ$ .

Ответ

∠A = 50°, ∠B = 100°, ∠C = 30°

Сложный Задача 6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите расстояние от вершины прямого угла до середины гипотенузы.

Подсказка

Достройте треугольник до прямоугольника и вспомните свойство его диагоналей.

Решение

Достроим треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ до прямоугольника $$ACBD$$ . Его диагонали $$AB$$ и $$CD$$ равны и точкой пересечения $$O$$ делятся пополам, поэтому $$O$$ — середина гипотенузы и $OC = OA = OB = 26 \div 2 = 13$ см. Значит, окружность с диаметром $$AB$$ проходит через $$C$$ — это и есть вписанный прямой угол, опирающийся на полуокружность.

Ответ

13 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте окружность, отметьте на ней две точки $$A$$ и $$C$$ и несколько точек на большей дуге. Соедините каждую точку с $$A$$ и $$C$$ и измерьте углы транспортиром — они окажутся одинаковыми и вдвое меньше угла $$AOC$$ при центре. Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равен вписанный угол на дуге 70°? 2) Почему угол, опирающийся на диаметр, прямой? 3) Чем вписанный угол отличается от центрального? На что обратить внимание. Главная ошибка — забыть делить дугу пополам или взять не ту дугу из двух.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 80	766, 767, 768, 769, 770, 771, 772, 774, 779, 780, 781