Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 803

Условие (кратко)

На хорде AB окружности с центром O взята точка C. Окружность через A, O и C пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что треугольник BCD равнобедренный.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , хорда $$AB$$ , точка $$C$$ на $$AB$$ ; окружность через $$A$$ , $$O$$ , $$C$$ пересекает данную в точке $$D$$ . Доказать: $$CB = CD$$ .

В данной окружности вписанный угол $$ABD$$ опирается на дугу $$AD$$ , а центральный угол $$AOD$$ — на ту же дугу, поэтому $\angle ABD = \dfrac{1}{2}\angle AOD$ .
Во второй окружности (через $$A$$ , $$O$$ , $$C$$ , $$D$$ ) углы $$ACD$$ и $$AOD$$ вписанные и опираются на одну дугу $$AD$$ (точки $$C$$ и $$O$$ лежат по одну сторону от $$AD$$ , как на рисунке), поэтому $\angle ACD = \angle AOD = 2\angle ABD$ .
Угол $$ACD$$ — внешний угол треугольника $$BCD$$ при вершине $$C$$ , поэтому $\angle ACD = \angle CBD + \angle CDB$ . Учитывая, что $\angle CBD = \angle ABD$ , получаем $2\angle ABD = \angle ABD + \angle CDB$ , откуда $\angle CDB = \angle CBD$ .
В треугольнике $$BCD$$ углы при стороне $$BD$$ равны, значит, $$CB = CD$$ — треугольник равнобедренный.

Ответ

Утверждение доказано: CB = CD

Почему так

Угол ACD вдвое больше вписанного угла ABD и равен сумме двух углов треугольника BCD, поэтому углы при основании BD равны.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задание 803

Задача 1