Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 804

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — прямоугольник, в него вписана окружность. Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD$$ .
У прямоугольника противоположные стороны равны: $$CD = AB$$ , $$AD = BC$$ . Тогда $$2AB = 2BC$$ , то есть $$AB = BC$$ .
Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано: стороны прямоугольника равны, это квадрат

Почему так

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, а у прямоугольника отсюда следует равенство смежных сторон.

Подробнее — в теме «Вписанная окружность».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).