Какую окружность называют вписанной в многоугольник?

Окружность, которой касаются все стороны многоугольника

Окружность, которая проходит через все вершины многоугольника

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей

Любую окружность, лежащую внутри многоугольника

Стороны выпуклого четырёхугольника по порядку равны 3, 4, 6 и 5 см. Можно ли вписать в него окружность?

Нет: у него нет равных сторон

Нет: окружность вписывают только в ромб

Нельзя определить без углов

Вписанная окружность — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Взаимное расположение прямой и окружности

Коротко о главном

Окружность вписана в многоугольник, если все его стороны касаются окружности; многоугольник при этом называют описанным. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Верно и обратное: если в выпуклом четырёхугольнике эти суммы равны, в него можно вписать окружность.

\[AB + CD = BC + AD\]

Подробное объяснение

Круглая крышка от банки ложится в квадратную рамку так, что упирается во все четыре стороны. А в длинную узкую рамку она упрётся только в три стороны — к четвёртой не достанет, а чуть больше крышка уже не влезет. Так выглядит главная мысль пункта: окружность можно вписать не в каждый четырёхугольник.

Вписанная окружность и описанный многоугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называют вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. Если хотя бы одна сторона окружности не касается, окружность не вписана.

В 7 классе вы узнали, что в любой треугольник можно вписать окружность, причём её центр — точка пересечения биссектрис. С четырёхугольниками иначе: в прямоугольник, который не квадрат, окружность вписать нельзя. Самая большая окружность внутри него касается трёх сторон, а до четвёртой не дотягивается.

Слева четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O; равные отрезки касательных из вершин A, B, C, D подписаны a, b, c, d. Справа прямоугольник, окружность касается только трёх его сторон. — Отрезки касательных из одной вершины равны, поэтому AB + CD = BC + AD. В прямоугольник, не являющийся квадратом, окружность вписать нельзя.

Свойство описанного четырёхугольника

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD$$ .

Почему. Из 7 класса известно: отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из каждой вершины выходят два таких отрезка, обозначим их одной буквой: $$a$$ у вершины $$A$$ , $$b$$ у $$B$$ , $$c$$ у $$C$$ , $$d$$ у $$D$$ . Каждая сторона состоит из двух отрезков от соседних вершин: $$AB = a + b$$ , $$BC = b + c$$ , $$CD = c + d$$ , $$AD = a + d$$ . Тогда

\[AB + CD = a + b + c + d = BC + AD.\]

Обратное утверждение: если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. В учебнике оно доказывается позже, в задаче 807, но пользоваться им можно уже сейчас.

Отсюда сразу видно, в какие четырёхугольники окружность вписать можно:

в ромб и квадрат — все стороны равны, суммы точно совпадают;
в параллелограмм — только если он ромб;
в трапецию — только если сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Где центр и чему равна площадь

Центр вписанной окружности одинаково удалён от всех сторон, поэтому лежит на биссектрисах всех углов многоугольника — это точка их пересечения.

Если соединить центр с вершинами, описанный многоугольник разобьётся на треугольники. У каждого из них основание — сторона многоугольника, а высота — радиус $$r$$ , проведённый в точку касания (он перпендикулярен касательной). Складывая площади, получаем удобную формулу:

S = \frac{1}{2} P r,

где $$P$$ — периметр. Для описанного четырёхугольника $$P = 2(AB + CD)$$ , то есть площадь равна произведению суммы двух противоположных сторон на радиус.

Как решать задачи

Убедитесь, что окружность касается всех сторон: тогда работает свойство $$AB + CD = BC + AD$$ .
Неизвестную сторону находите из равенства сумм противоположных сторон.
Периметр описанного четырёхугольника равен удвоенной сумме двух противоположных сторон.
Площадь — по формуле $S = \frac{1}{2} P r$ ; отсюда же радиус: $r = \dfrac{2S}{P}$ .
Если окружность касается двух параллельных сторон (оснований трапеции, сторон ромба), расстояние между ними равно диаметру $$2r$$ .

Разобранные примеры

База

Четвёртая сторона описанного четырёхугольника

Условие

Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности, $$AB = 5$$ см, $$BC = 7$$ см, $$CD = 9$$ см. Найдите $$AD$$ .

Дано

$$AB = 5$$ см
$$BC = 7$$ см
$$CD = 9$$ см

Найти

$$AD$$

Решение

Суммы противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD$$ , то есть $$5 + 9 = 7 + AD$$ . Отсюда $$AD = 14 - 7 = 7$$ см.

Ответ: AD = 7 см

Средний

Площадь через радиус

Условие

Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 14 см, радиус вписанной окружности 3 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Дано

$$AB + CD = 14$$ см
$$r = 3$$ см

Найти

$$S$$

Решение

Вторая пара противоположных сторон в сумме тоже 14 см, поэтому периметр $$P = 28$$ см. Площадь описанного многоугольника $S = \dfrac{1}{2} P r = \dfrac{1}{2} \cdot 28 \cdot 3 = 42$ $\text{см}^2$ .

Ответ: 42 см²

Сложный

Окружность в равнобедренной трапеции

Условие

В равнобедренную трапецию с основаниями 6 см и 24 см вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Дано

$$ABCD$$ — равнобедренная трапеция
$$BC = 6$$ см
$$AD = 24$$ см
в неё вписана окружность

Найти

$$r$$

Решение

Сумма боковых сторон равна сумме оснований: $$6 + 24 = 30$$ см, поэтому $$AB = CD = 15$$ см.
Высота $$BH$$ отсекает от большего основания отрезок $AH = \dfrac{24 - 6}{2} = 9$ см.
По теореме Пифагора $BH = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$ см.
Окружность касается обоих параллельных оснований, поэтому высота равна диаметру: $$r = 12 : 2 = 6$$ см.

Ответ: 6 см

Типичные ошибки

Складывают соседние стороны вместо противоположных

Почему неверно

Равенство $$AB + BC = CD + DA$$ для описанного четырёхугольника неверно: оно выполняется лишь в особых случаях, например у ромба.

Как правильно

Противоположные стороны не имеют общей вершины: $$AB$$ и $$CD$$ , $$BC$$ и $$AD$$ . У трапеции противоположные стороны — это два основания и две боковые стороны.

Считают, что в любой четырёхугольник можно вписать окружность

Почему неверно

Так бывает только с треугольником. В прямоугольник $3 \times 5$ окружность не впишешь: $3 + 3 \ne 5 + 5$ .

Как правильно

Сначала проверьте, равны ли суммы противоположных сторон. Если нет — окружность вписать нельзя.

Путают «вписанная окружность» и «вписанный четырёхугольник»

Почему неверно

Вписанная окружность лежит внутри и касается сторон, а вписанный четырёхугольник лежит внутри окружности, и его вершины на ней. Это разные ситуации с разными свойствами.

Как правильно

Смотрите, кто «внутри»: если внутри окружность, то она вписана, а четырёхугольник описан — и работает свойство сторон.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 7 см, BC = 9 см, CD = 8 см. Найдите сторону AD.

Подсказка

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Решение

По свойству описанного четырёхугольника $$AB + CD = BC + AD$$ , то есть $$7 + 8 = 9 + AD$$ . Отсюда $$AD = 15 - 9 = 6$$ см.

Ответ

AD = 6 см

База Задача 2

В трапецию вписана окружность. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите периметр трапеции.

Подсказка

Основания трапеции — противоположные стороны.

Решение

Основания — пара противоположных сторон, боковые стороны — другая пара. Суммы равны: сумма боковых сторон тоже $$4 + 10 = 14$$ см. Периметр $$P = 14 + 14 = 28$$ см.

Ответ

28 см

Средний Задача 3

Периметр описанного четырёхугольника равен 36 см, радиус вписанной окружности 4 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Подсказка

Площадь описанного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус.

Решение

Соединим центр окружности с вершинами: четырёхугольник разобьётся на четыре треугольника, у каждого высота, проведённая к стороне, равна радиусу $$r$$ . Поэтому $S = \dfrac{1}{2} P r = \dfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot 4 = 72$ $\text{см}^2$ .

Ответ

72 см²

Средний Задача 4

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Основания трапеции равны 2 см и 8 см. Найдите боковую сторону трапеции и радиус окружности.

Подсказка

Сумма боковых сторон равна сумме оснований; высота трапеции равна диаметру окружности.

Решение

Сумма боковых сторон равна сумме оснований: $$2 + 8 = 10$$ см, боковые стороны равны, поэтому каждая $$5$$ см.

Опустим высоту из конца меньшего основания. В равнобедренной трапеции она отсекает от большего основания отрезок $\dfrac{8 - 2}{2} = 3$ см. По теореме Пифагора высота $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см.

Окружность касается обоих оснований, а они параллельны, поэтому высота равна диаметру: $$r = 4 : 2 = 2$$ см.

Ответ

Боковая сторона 5 см, радиус 2 см

Сложный Задача 5

Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Подсказка

Запишите свойство описанного четырёхугольника и вспомните, что противоположные стороны прямоугольника равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — прямоугольник, в него вписана окружность. Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

В описанном четырёхугольнике $$AB + CD = BC + AD$$ . У прямоугольника $$AB = CD$$ и $$BC = AD$$ , поэтому $$2AB = 2BC$$ , то есть $$AB = BC$$ . Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано: такой прямоугольник — квадрат

Сложный Задача 6

В прямоугольную трапецию вписана окружность радиусом 3 см. Большая боковая сторона трапеции равна 10 см. Найдите периметр и площадь трапеции.

Подсказка

Меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте, то есть диаметру окружности.

Решение

Меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит, равна высоте трапеции. Окружность касается двух параллельных оснований, поэтому высота равна диаметру: $2 \cdot 3 = 6$ см.

Сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$6 + 10 = 16$$ см. Периметр $$P = 16 + 16 = 32$$ см.

Площадь $S = \dfrac{1}{2} P r = \dfrac{1}{2} \cdot 32 \cdot 3 = 48$ $\text{см}^2$ (проверка по формуле трапеции: $\dfrac{16}{2} \cdot 6 = 48$ ).

Ответ

P = 32 см, S = 48 см²

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол монету и обложите её четырьмя карандашами так, чтобы каждый касался монеты. Получится описанный четырёхугольник. Отметьте точки касания и покажите: от каждого угла до двух соседних точек касания — одинаковые расстояния (измерьте линейкой). Сложите противоположные стороны — суммы совпадут.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем вписанная окружность отличается от описанной? 2) Почему в вытянутый прямоугольник нельзя вписать окружность? 3) Стороны четырёхугольника 4, 6, 7, 5 см по порядку — можно ли вписать в него окружность?

На что обратить внимание. Главное — понимать, откуда берётся свойство: из равенства отрезков касательных. Попросите ребёнка нарисовать описанный четырёхугольник и подписать одинаковыми буквами равные отрезки — после этого формула запоминается сама.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 82	784, 785, 786, 787, 788, 789, 794