Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 805

Задача 1

Условие (кратко)

Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r, AB : CD = 2 : 3, AD : BC = 2 : 1, площадь равна S. Найдите стороны четырёхугольника.

Решение

Дано

$$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$
$$AB : CD = 2 : 3$$
$$AD : BC = 2 : 1$$
$S_{ABCD} = S$

Найти

$$AB$$
$$BC$$
$$CD$$
$$AD$$

Пусть $$AB = 2x$$ , $$CD = 3x$$ , $$BC = y$$ , $$AD = 2y$$ . В описанном четырёхугольнике $$AB + CD = BC + AD$$ , то есть $$5x = 3y$$ , $y = \dfrac{5x}{3}$ .
Соединим центр $$O$$ окружности с вершинами. Четырёхугольник разбивается на треугольники $$AOB$$ , $$BOC$$ , $$COD$$ , $$DOA$$ ; высота каждого, проведённая из $$O$$ , равна $$r$$ (радиус в точку касания перпендикулярен стороне). Поэтому
$S = \dfrac{1}{2}r(AB + BC + CD + DA) = \dfrac{1}{2}r(5x + 3y) = \dfrac{1}{2}r \cdot 10x = 5rx.$
Отсюда $x = \dfrac{S}{5r}$ , $y = \dfrac{5x}{3} = \dfrac{S}{3r}$ .
$AB = \dfrac{2S}{5r}$ , $BC = \dfrac{S}{3r}$ , $CD = \dfrac{3S}{5r}$ , $AD = \dfrac{2S}{3r}$ .

Ответ

AB = 2S/(5r), BC = S/(3r), CD = 3S/(5r), AD = 2S/(3r)

Почему так

Площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус, а суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Подробнее — в теме «Вписанная окружность».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).