Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 806

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) Прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , прямые $$AD$$ и $$BC$$ касаются окружности с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ ; $$M$$ и $$N$$ — середины $$AB$$ и $$CD$$ . Доказать: $O \in MN$ .

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому расстояние от $$O$$ до каждой из прямых $$AD$$ и $$BC$$ равно $$r$$ . Окружность лежит между этими прямыми (иначе обе прямые были бы по одну сторону от центра на расстоянии $$r$$ и совпали бы), значит, $$O$$ равноудалена от них и лежит на прямой $$l$$ , параллельной основаниям и проходящей посередине между ними.
Прямая $$l$$ параллельна основаниям и делит пополам перпендикуляр, опущенный из $$B$$ на $$AD$$ . По теореме Фалеса параллельные прямые $$BC$$ , $$l$$ , $$AD$$ , отсекающие равные отрезки на этом перпендикуляре, отсекают равные отрезки и на боковой стороне $$AB$$ . Значит, $$l$$ проходит через середину $$M$$ стороны $$AB$$ , и так же — через середину $$N$$ стороны $$CD$$ .
Через две точки проходит одна прямая, поэтому $$l$$ — это прямая $$MN$$ , и центр $$O$$ лежит на ней.

Ответ

Утверждение доказано: центр окружности лежит на средней линии трапеции

Почему так

Центр равноудалён от двух параллельных касательных, а все такие точки лежат на прямой, проходящей через середины боковых сторон.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задание 806

Задача 1