Задача 1
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(AB + CD = BC + AD\). Доказать: в \(ABCD\) можно вписать окружность.
-
Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(O\) внутри четырёхугольника. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, поэтому \(O\) равноудалена от прямых \(AD\), \(AB\) и \(BC\). Окружность с центром \(O\) и радиусом, равным этому расстоянию, касается сторон \(AD\), \(AB\), \(BC\). Докажем, что она касается и \(CD\).
-
Пусть прямая \(CD\) не имеет с окружностью общих точек. Проведём касательную \(C'D'\), параллельную \(CD\), с точками \(C'\) на \(BC\) и \(D'\) на \(AD\). Четырёхугольник \(ABC'D'\) описанный, поэтому \(AB + C'D' = BC' + AD' = (BC - CC') + (AD - DD')\). С учётом \(BC + AD - AB = CD\) получаем \(C'D' + CC' + DD' = CD\). Но отрезок \(CD\) короче ломаной \(CC'D'D\) с теми же концами — противоречие.
-
Пусть прямая \(CD\) — секущая. Проведём параллельную ей касательную \(C'D'\) по другую сторону от \(CD\), чем \(AB\); точки \(C'\) и \(D'\) лежат на продолжениях сторон \(BC\) и \(AD\). Тогда \(AB + C'D' = (BC + CC') + (AD + DD') = AB + CD + CC' + DD'\), то есть \(C'D' = CD + CC' + DD'\) — снова отрезок равен ломаной \(C'CDD'\), противоречие.
-
Значит, прямая \(CD\) касается окружности, и окружность вписана в \(ABCD\).
Ответ
Это признак описанного четырёхугольника; доказывается от противного через свойство сторон описанного четырёхугольника.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».