Задача 1
Условие (кратко)
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — прямоугольная трапеция
- \(AB \perp AD\)
- \(AD = a\)
- \(BC = b\) (\(a > b\))
- в неё вписана окружность радиуса \(r\)
Найти
- \(r\)
-
Боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям, а окружность касается обоих оснований, поэтому \(AB\) равна диаметру: \(AB = 2r\).
-
В описанном четырёхугольнике \(AB + CD = AD + BC\), откуда \(CD = a + b - 2r\).
-
Проведём высоту \(CH\): \(CH = 2r\), \(HD = a - b\). По теореме Пифагора \(CD^2 = CH^2 + HD^2\):
\[(a + b - 2r)^2 = 4r^2 + (a - b)^2.\] -
Раскроем скобки: \((a + b)^2 - 4r(a + b) + 4r^2 = 4r^2 + (a - b)^2\), то есть \(4ab = 4r(a + b)\), откуда
\[r = \dfrac{ab}{a + b}.\]
Ответ
r = ab/(a + b)
Почему так
Высота прямоугольной трапеции равна диаметру, а наклонную сторону находим из свойства описанного четырёхугольника и теоремы Пифагора.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».