Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 810

Условие (кратко)

Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность (повышенной трудности).

Решение

Дано: четырёхугольник $$ABCD$$ , $\angle A + \angle C = 180^\circ$ . Доказать: около $$ABCD$$ можно описать окружность.

Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$ , поэтому и $\angle B + \angle D = 180^\circ$ : ни один угол не больше $180^\circ$ , четырёхугольник выпуклый.

Проведём окружность через $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ и докажем, что она проходит через $$C$$ . Пусть $$M$$ — середина $$BD$$ ; она лежит внутри круга. Точки $$A$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от $$BD$$ .
Для любой точки $$E$$ дуги $$BD$$ , не содержащей $$A$$ , вписанные углы $$A$$ и $$E$$ опираются на дуги, вместе составляющие окружность: $\angle BAD + \angle BED = \dfrac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$ . Значит, $\angle BED = \angle BCD$ .
Вспомогательный факт: если точка $$E$$ лежит внутри треугольника $$BCD$$ , то $\angle BED > \angle BCD$ . Действительно, продолжим $$BE$$ до пересечения с $$CD$$ в точке $$F$$ ; по свойству внешнего угла $\angle BED > \angle BFD > \angle BCD$ .
Пусть $$C$$ лежит вне круга. Отрезок $$MC$$ выходит из круга через точку $$E$$ дуги $$BD$$ , не содержащей $$A$$ ; точка $$E$$ лежит внутри треугольника $$BCD$$ , поэтому $\angle BED > \angle BCD$ — противоречие с пунктом 2.
Пусть $$C$$ лежит внутри круга. Луч $$MC$$ пересекает ту же дугу в точке $$E$$ за точкой $$C$$ ; теперь $$C$$ лежит внутри треугольника $$BED$$ , и $\angle BCD > \angle BED$ — снова противоречие.
Значит, $$C$$ лежит на окружности, и она описана около $$ABCD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: вершина C лежит на окружности, проходящей через A, B, D

Почему так

Это признак вписанного четырёхугольника; доказывается от противного сравнением угла C с вписанным углом, опирающимся на ту же хорду BD.

Подробнее — в теме «Описанная окружность».

Задание 810

Задача 1