Около каких фигур всегда можно описать окружность?

Равнобедренная трапеция

Углы четырёхугольника по порядку равны 70°, 120°, 110° и 60°. Можно ли описать около него окружность?

Да, потому что 70° + 110° = 180°

Нет, потому что все углы разные

Нет, потому что 70° + 120° ≠ 180°

Да, около любого четырёхугольника можно

Где находится центр окружности, описанной около четырёхугольника?

В точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам

В точке пересечения биссектрис его углов

Всегда в середине одной из диагоналей

В точке пересечения его высот

Описанная окружность — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Вписанный угол

Коротко о главном

Окружность описана около многоугольника, если все его вершины лежат на окружности; многоугольник при этом называют вписанным. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$ . Верно и обратное: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$ , около него можно описать окружность.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Подробное объяснение

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность — это окружность, описанная около треугольника, и вы знаете её из 7 класса. А если точек четыре? Четвёртая точка может попасть на ту же окружность, а может оказаться внутри или снаружи. Значит, около четырёхугольника окружность удаётся описать не всегда.

Описанная окружность и вписанный многоугольник

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называют описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. Достаточно одной вершины не на окружности — и окружность уже не описана.

Например, около ромба, который не квадрат, окружность описать нельзя. Окружность через три его вершины не проходит через четвёртую — ниже станет понятно почему.

Свойство вписанного четырёхугольника

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$ .

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Угол A опирается на дугу BCD, угол C — на дугу BAD; вместе эти дуги составляют всю окружность. — Угол A равен половине дуги BCD, угол C — половине дуги BAD. Дуги дают 360°, поэтому ∠A + ∠C = 180°.

Почему. Каждый угол вписанного четырёхугольника — вписанный угол окружности. По теореме о вписанном угле он равен половине дуги, на которую опирается:

\angle A = \frac{1}{2}\overset{\frown}{BCD}, \qquad \angle C = \frac{1}{2}\overset{\frown}{BAD}.

Дуги $$BCD$$ и $$BAD$$ вместе составляют всю окружность, то есть $360^\circ$ . Поэтому $\angle A + \angle C = \dfrac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$ . Для углов $$B$$ и $$D$$ — так же.

Обратное утверждение: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$ , то около него можно описать окружность. Доказательство — в задаче 810, а пользоваться им можно уже сейчас. Заметьте: проверять обе пары не нужно — сумма всех углов $360^\circ$ , и если одна пара даёт $180^\circ$ , то и другая тоже.

Теперь ясно, около каких четырёхугольников окружность описать можно:

около прямоугольника и квадрата — все углы по $90^\circ$ ;
около равнобедренной трапеции — углы при основании равны, а соседние углы при боковой стороне дают $180^\circ$ ;
около параллелограмма — только если он прямоугольник: противоположные углы равны, а в сумме должны дать $180^\circ$ ;
около ромба — только если он квадрат.

Где центр

Центр описанной окружности одинаково удалён от всех вершин. Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре, поэтому центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. У прямоугольника это точка пересечения диагоналей: диагонали равны и делятся пополам, так что они — диаметры.

Как решать задачи

Убедитесь, что все вершины лежат на окружности.
Найдите пары противоположных углов (не имеющих общей стороны) и используйте $\angle A + \angle C = 180^\circ$ .
Если углы даны отношением, составьте уравнение для пары противоположных углов.
Чтобы доказать, что окружность можно описать, покажите, что сумма двух противоположных углов равна $180^\circ$ .
Помните про вписанные углы: прямой вписанный угол опирается на диаметр, а углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Разобранные примеры

База

Недостающие углы

Условие

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, $\angle A = 70^\circ$ , $\angle B = 95^\circ$ . Найдите углы $$C$$ и $$D$$ .

Дано

$$ABCD$$ вписан в окружность
$\angle A = 70^\circ$
$\angle B = 95^\circ$

Найти

$\angle C$
$\angle D$

Решение

$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ ; $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$ .

Ответ: ∠C = 110°, ∠D = 85°

Средний

Углы по отношению

Условие

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Углы $$A$$ и $$C$$ относятся как $$4 : 5$$ , а $\angle B = 100^\circ$ . Найдите остальные углы.

Дано

$\angle A : \angle C = 4 : 5$
$\angle B = 100^\circ$

Найти

$\angle A$
$\angle C$
$\angle D$

Решение

Пусть $\angle A = 4x$ , $\angle C = 5x$ . Противоположные углы дают $180^\circ$ : $9x = 180^\circ$ , $x = 20^\circ$ . Тогда $\angle A = 80^\circ$ , $\angle C = 100^\circ$ , $\angle D = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ .

Ответ: ∠A = 80°, ∠C = 100°, ∠D = 80°

Сложный

Диагональ-диаметр

Условие

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, диагональ $$AC$$ — её диаметр. $\angle BAC = 25^\circ$ , $\angle CAD = 40^\circ$ . Найдите углы четырёхугольника.

Дано

$$AC$$ — диаметр
$\angle BAC = 25^\circ$
$\angle CAD = 40^\circ$

Найти

углы $$ABCD$$

Решение

Углы $$B$$ и $$D$$ вписанные и опираются на диаметр $$AC$$ (на полуокружность), поэтому $\angle B = \angle D = 90^\circ$ .
$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$ .
$\angle C = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Проверка: в треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ углы при $$C$$ равны $65^\circ$ и $50^\circ$ , вместе $115^\circ$ .

Ответ: ∠A = 65°, ∠B = 90°, ∠C = 115°, ∠D = 90°

Типичные ошибки

Складывают соседние углы

Почему неверно

Соседние углы ( $$A$$ и $$B$$ ) в сумме дают $180^\circ$ у параллелограмма или трапеции, а не у любого вписанного четырёхугольника.

Как правильно

Свойство — про противоположные углы: $$A$$ и $$C$$ , $$B$$ и $$D$$ . Подпишите вершины по порядку и соединяйте углы «через одну».

Считают, что окружность можно описать около любого параллелограмма

Почему неверно

У параллелограмма противоположные углы равны. Чтобы их сумма была $180^\circ$ , каждый должен быть $90^\circ$ . Около ромба с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ окружность не описать.

Как правильно

Из параллелограммов вписанными бывают только прямоугольники (в том числе квадраты), из трапеций — только равнобедренные.

Путают «описанная окружность» и «описанный четырёхугольник»

Почему неверно

Если окружность описана около четырёхугольника, то сам четырёхугольник — вписанный, и работает свойство углов, а не сторон.

Как правильно

Смотрите, где вершины: если все вершины на окружности — окружность описанная, четырёхугольник вписанный, сумма противоположных углов $180^\circ$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠A = 75°, ∠B = 110°. Найдите углы C и D.

Подсказка

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Решение

Углы $$A$$ и $$C$$ противоположные: $\angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ . Углы $$B$$ и $$D$$ тоже противоположные: $\angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ .

Ответ

∠C = 105°, ∠D = 70°

База Задача 2

Углы четырёхугольника ABCD равны ∠A = 80°, ∠B = 95°, ∠C = 100°, ∠D = 85°. Можно ли описать около него окружность?

Подсказка

Сложите противоположные углы.

Решение

$\angle A + \angle C = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$ (и $\angle B + \angle D = 95^\circ + 85^\circ = 180^\circ$ ). Если сумма противоположных углов равна $180^\circ$ , около четырёхугольника можно описать окружность.

Ответ

Можно

Средний Задача 3

Углы A, B и C вписанного четырёхугольника ABCD относятся как 2 : 3 : 4. Найдите все углы четырёхугольника.

Подсказка

Углы A и C противоположные, их сумма 180°.

Решение

Пусть $\angle A = 2x$ , $\angle B = 3x$ , $\angle C = 4x$ . Углы $$A$$ и $$C$$ противоположные: $2x + 4x = 180^\circ$ , $x = 30^\circ$ . Тогда $\angle A = 60^\circ$ , $\angle B = 90^\circ$ , $\angle C = 120^\circ$ , а $\angle D = 180^\circ - \angle B = 90^\circ$ .

Ответ

∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠C = 120°, ∠D = 90°

Средний Задача 4

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность, ∠A = 65°. Найдите остальные углы трапеции.

Подсказка

Используйте свойство вписанного четырёхугольника и углы при параллельных прямых.

Решение

Противоположный угол $\angle C = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Углы $$A$$ и $$B$$ односторонние при $AD \parallel BC$ : $\angle B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Углы $$C$$ и $$D$$ тоже односторонние: $\angle D = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ . Трапеция оказалась равнобедренной.

Ответ

∠B = ∠C = 115°, ∠D = 65°

Сложный Задача 5

Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Подсказка

Противоположные углы ромба равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — ромб, около него описана окружность. Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

Во вписанном четырёхугольнике $\angle A + \angle C = 180^\circ$ . У ромба противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$ . Значит, $\angle A = \angle C = 90^\circ$ , и остальные углы тоже прямые. Ромб с прямым углом — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано: такой ромб — квадрат

Сложный Задача 6

В четырёхугольнике ABCD углы A и C прямые, диагональ BD = 10 см. Докажите, что около него можно описать окружность, и найдите её радиус.

Подсказка

Прямой вписанный угол опирается на диаметр.

Решение

$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ , поэтому около $$ABCD$$ можно описать окружность.

Вписанный угол $$A$$ равен $90^\circ$ , значит, дуга $$BCD$$ , на которую он опирается, равна $180^\circ$ — это полуокружность, а хорда $$BD$$ — диаметр. Радиус $$R = 10 : 2 = 5$$ см. (Иначе: центр — середина $$BD$$ , так как медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.)

Ответ

R = 5 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Обведите на бумаге круглое блюдце и отметьте на окружности четыре точки в произвольных местах. Соедините их по порядку — получится вписанный четырёхугольник. Пусть ребёнок измерит транспортиром два противоположных угла и сложит: выйдет около $180^\circ$ . Повторите с другими точками — результат тот же.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие углы четырёхугольника называют противоположными? 2) Почему около ромба, который не квадрат, нельзя описать окружность? 3) Один угол вписанного четырёхугольника $50^\circ$ — какой угол ему противоположен?

На что обратить внимание. Свойство держится на теореме о вписанном угле. Если ребёнок путается, сначала повторите её: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 83	790, 791, 792, 793, 795