Задача 1
Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\); биссектрисы её углов, пересекаясь, образуют выпуклый четырёхугольник. Доказать: около него можно описать окружность.
-
Углы \(A\) и \(B\) трапеции — односторонние при параллельных прямых \(AD\), \(BC\) и секущей \(AB\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Половины этих углов в сумме дают \(90^\circ\), поэтому в треугольнике, образованном стороной \(AB\) и биссектрисами, третий угол равен \(90^\circ\): биссектрисы углов \(A\) и \(B\) перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения \(P\).
-
Так же \(\angle C + \angle D = 180^\circ\), и биссектрисы углов \(C\) и \(D\) перпендикулярны; точка их пересечения — \(Q\).
-
Стороны четырёхугольника лежат на четырёх биссектрисах. Вершины \(P\) и \(Q\) не лежат на одной биссектрисе, поэтому это противоположные вершины, и углы при них равны \(90^\circ\).
-
Сумма противоположных углов \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), значит, около четырёхугольника можно описать окружность (задача 810).
Ответ
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны, поэтому у четырёхугольника два противоположных угла прямые.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».