Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 813

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике ABC из точки M стороны AC проведён перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Докажите, что углы MHC и MBC равны.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $M \in AC$ , $MH \perp AB$ . Доказать: $\angle MHC = \angle MBC$ .

В четырёхугольнике $$MHBC$$ углы при вершинах $$H$$ и $$C$$ прямые: $\angle MHB = 90^\circ$ , $\angle MCB = 90^\circ$ . Это противоположные углы, их сумма $180^\circ$ , поэтому около $$MHBC$$ можно описать окружность (задача 810). Её диаметр — отрезок $$MB$$ .
Углы $$MHC$$ и $$MBC$$ вписаны в эту окружность и опираются на одну хорду $$MC$$ ; точки $$H$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$ . Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: $\angle MHC = \angle MBC$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠MHC = ∠MBC

Почему так

Четырёхугольник MHBC с двумя противоположными прямыми углами вписанный, а вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Подробнее — в теме «Описанная окружность».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).