Задача 1
Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус описанной окружности равен 10 см.
Решение
- \(\triangle ABC\) — равносторонний
- \(R = 10\) см
- \(r\)
-
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры к сторонам совпадают. Поэтому центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой \(O\) пересечения медиан.
-
Пусть \(AH\) — медиана (и высота). Тогда \(OA = R\) — расстояние до вершины, а \(OH = r\) — расстояние до стороны \(BC\) (так как \(OH \perp BC\)).
-
Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины: \(OA = 2 \cdot OH\). Значит, \(r = \dfrac{R}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\) см.
Ответ
В равностороннем треугольнике центр обеих окружностей — точка пересечения медиан, которая делит медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».