Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 815

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

У вписанного четырёхугольника $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , а у параллелограмма $\angle A = \angle C$ . Значит, $\angle A = \angle C = 90^\circ$ , и параллелограмм — прямоугольник (задача 791).
В прямоугольник вписана окружность, поэтому $$AB + CD = BC + AD$$ , то есть $$2AB = 2BC$$ , и смежные стороны равны (задача 804).
Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано: параллелограмм — прямоугольник с равными смежными сторонами, то есть квадрат

Почему так

Описанная окружность делает параллелограмм прямоугольником, а вписанная — уравнивает его смежные стороны.

Подробнее — в теме «Описанная окружность».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).