Задача 1
В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD = a\)
- \(BC = b\) (\(a > b\))
- она вписана в окружность и описана около окружности радиуса \(r\)
- \(r\)
-
Углы \(A\) и \(B\) односторонние: \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). У вписанного четырёхугольника \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). Отсюда \(\angle B = \angle C\), и трапеция равнобедренная: \(AB = CD = c\).
-
В описанном четырёхугольнике \(AB + CD = AD + BC\), то есть \(2c = a + b\), \(c = \dfrac{a + b}{2}\).
-
Проведём высоту \(BH\). В равнобедренной трапеции \(AH = \dfrac{a - b}{2}\). По теореме Пифагора
\[BH^2 = c^2 - AH^2 = \dfrac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4} = ab, \quad BH = \sqrt{ab}.\] -
Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: \(r = \dfrac{BH}{2} = \dfrac{\sqrt{ab}}{2}\).
Ответ
Вписанная трапеция равнобедренная, её боковая сторона равна полусумме оснований, а высота — диаметру вписанной окружности.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».