Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 817

Условие (кратко)

Даны прямая a, точка A на ней и точка B вне её. Постройте окружность, проходящую через точку B и касающуюся прямой a в точке A.

Решение

Анализ. Если окружность с центром $$O$$ касается прямой $$a$$ в точке $$A$$ , то радиус $OA \perp a$ , то есть $$O$$ лежит на перпендикуляре к $$a$$ в точке $$A$$ . Кроме того, $$OA = OB$$ , значит, $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$ .

Построение.

Через точку $$A$$ проводим прямую $$p$$ , перпендикулярную к прямой $$a$$ .
Строим серединный перпендикуляр $$s$$ к отрезку $$AB$$ (циркулем и линейкой: две дуги равного радиуса с центрами $$A$$ и $$B$$ , прямая через точки их пересечения).
Точка пересечения прямых $$p$$ и $$s$$ — центр $$O$$ . Проводим окружность с центром $$O$$ радиусом $$OA$$ .

Почему получилось. $$OA = OB$$ , поэтому окружность проходит через $$B$$ ; радиус $$OA$$ перпендикулярен прямой $$a$$ , поэтому $$a$$ — касательная в точке $$A$$ . Прямые $$p$$ и $$s$$ пересекаются, так как $p \perp a$ , $s \perp AB$ , а $$AB$$ не параллельна $$a$$ (точка $$B$$ не лежит на $$a$$ ). Задача имеет одно решение.

Ответ

Центр окружности — точка пересечения перпендикуляра к прямой a в точке A и серединного перпендикуляра к отрезку AB; решение единственное

Почему так

Центр лежит на перпендикуляре к касательной в точке касания и равноудалён от A и B.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задание 817

Задача 1