Задача 1
(Задание для работы в группе.) Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Решение
Анализ. Окружность, касающаяся параллельных прямых \(a\) и \(b\), лежит между ними; её диаметр равен расстоянию \(h\) между прямыми, а центр равноудалён от них и лежит на прямой \(l\), параллельной \(a\) и \(b\) и проходящей посередине между ними (задача 289). Центр также удалён от данной точки \(M\) на \(r = \dfrac{h}{2}\).
Построение.
-
Из какой-нибудь точки \(A\) прямой \(a\) проводим перпендикуляр \(AB\) к прямой \(b\). Находим середину \(K\) отрезка \(AB\): \(r = AK\).
-
Через \(K\) проводим прямую \(l\), перпендикулярную к \(AB\) (она параллельна \(a\) и \(b\)).
-
Проводим окружность с центром \(M\) радиусом \(r\). Точки её пересечения с прямой \(l\) — центры \(O_1\) и \(O_2\) искомых окружностей.
-
Проводим окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\) радиусом \(r\). Каждая касается \(a\) и \(b\) (расстояние от центра до каждой прямой равно \(r\)) и проходит через \(M\) (\(O_1M = O_2M = r\)).
Исследование. Если \(M\) лежит между прямыми, то расстояние от \(M\) до \(l\) меньше \(r\), и решений два. Если \(M\) лежит вне полосы между прямыми, то окружность не может через неё пройти — решений нет.
Ответ
Центр лежит на прямой, равноудалённой от двух параллельных касательных, и на расстоянии радиуса от данной точки.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».