Задача 1
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что ∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD.
Решение
Дано: \(ABCD\) описан около окружности с центром \(O\). Доказать: \(\angle AOD + \angle BOC = \angle AOB + \angle COD\).
-
Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, поэтому \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\) — биссектрисы углов четырёхугольника.
-
Из треугольника \(AOB\): \(\angle AOB = 180^\circ - \dfrac{\angle A}{2} - \dfrac{\angle B}{2}\). Из треугольника \(COD\): \(\angle COD = 180^\circ - \dfrac{\angle C}{2} - \dfrac{\angle D}{2}\).
-
Складываем: \(\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - \dfrac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2} = 360^\circ - \dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ\).
-
Четыре угла с вершиной \(O\) составляют полный угол: \(\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ\). Значит, \(\angle AOD + \angle BOC = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ = \angle AOB + \angle COD\).
Ответ
Отрезки от центра к вершинам — биссектрисы углов, поэтому каждая пара противоположных углов при O в сумме даёт 180°.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».