Задача 1
Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с противоположными сторонами, перпендикулярны.
Решение
Дано: \(ABCD\) вписан в окружность и описан около окружности с центром \(O\); \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — точки касания со сторонами \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Доказать: \(KM \perp LN\).
-
Пусть \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \gamma\). Четырёхугольник вписанный, поэтому \(\alpha + \gamma = 180^\circ\).
-
В четырёхугольнике \(AKON\) углы при \(K\) и \(N\) прямые (радиус перпендикулярен касательной), поэтому \(\angle KON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha\). Значит, дуга \(KN\) вписанной окружности, лежащая внутри угла \(A\), равна \(180^\circ - \alpha\). Так же дуга \(LM\) внутри угла \(C\) равна \(180^\circ - \gamma\).
-
Хорды \(KM\) и \(LN\) пересекаются в точке \(P\). Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
\[\angle KPN = \dfrac{1}{2}\left(\smile KN + \smile LM\right) = \dfrac{1}{2}\left(360^\circ - (\alpha + \gamma)\right) = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ.\]
Ответ
Дуги вписанной окружности внутри противоположных углов равны 180° − α и 180° − γ, а угол между хордами — полусумма этих дуг.
Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».