Вершина угла лежит внутри окружности, стороны — хорды. Как найти угол?

Полусумма дуг внутри угла и вертикального ему угла

Половина дуги внутри угла

Полуразность двух дуг

Равен дуге внутри угла

В каких случаях угол находят как полуразность дуг?

Две секущие из точки вне окружности

Касательная и секущая из одной точки вне окружности

Две хорды, пересекающиеся внутри окружности

Касательная и хорда с общей точкой на окружности

Углы между хордами, касательными и секущими

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Вписанный угол

Коротко о главном

Угол, стороны которого пересекают окружность или касаются её, находят по дугам. Вершина внутри окружности — полусумма дуг, вершина вне окружности — полуразность, вершина на окружности (вписанный угол или угол касательной и хорды) — половина дуги.

\angle_{\text{внутри}} = \frac{\overset{\frown}{a} + \overset{\frown}{b}}{2}, \qquad \angle_{\text{вне}} = \frac{\overset{\frown}{a} - \overset{\frown}{b}}{2}

Подробное объяснение

Все формулы этой темы выводятся из одной теоремы — о вписанном угле. Достаточно провести одну дополнительную хорду, и нужный угол окажется внешним углом треугольника или суммой двух вписанных.

Угол между хордами

Хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$ внутри окружности. Угол $$AMC$$ равен полусумме дуги $$AC$$ (внутри угла) и дуги $$BD$$ (внутри вертикального ему угла):

\angle AMC = \frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BD}\right).

Почему: проведём хорду $$BC$$ . Угол $$AMC$$ — внешний угол треугольника $$MBC$$ , он равен сумме углов $$ABC$$ и $$DCB$$ . Это вписанные углы, они равны половинам дуг $$AC$$ и $$BD$$ .

Хорды AB и CD пересекаются в точке M внутри окружности. Выделены дуга AC внутри угла AMC и дуга BD внутри вертикального ему угла. Подпись — угол AMC равен половине суммы этих дуг. — Угол между хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями.

Угол между секущими

Две секущие выходят из точки $$M$$ вне окружности: первая пересекает окружность в $$B$$ и $$A$$ , вторая — в $$D$$ и $$C$$ ( $$B$$ и $$D$$ ближе к $$M$$ ). Внутри угла лежат две дуги: дальняя $$AC$$ и ближняя $$BD$$ . Угол равен полуразности этих дуг:

\angle AMC = \frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{BD}\right).

Почему: проведём хорду $$BC$$ . Вписанный угол $$ABC$$ — внешний для треугольника $$MBC$$ , поэтому $\angle ABC = \angle M + \angle BCD$ , откуда $\angle M = \angle ABC - \angle BCD$ , а это половины дуг $$AC$$ и $$BD$$ .

Угол между касательной и хордой

Касательная $$TK$$ и хорда $$TA$$ выходят из точки касания $$T$$ . Угол между ними равен половине дуги $$AT$$ , лежащей внутри угла — как у вписанного угла:

\angle ATK = \frac{1}{2}\,\overset{\frown}{AT}.

Идея доказательства: проведём диаметр $$TB$$ . Он перпендикулярен касательной, а угол $$TAB$$ опирается на полуокружность и тоже прямой. Из двух прямоугольных треугольников получается, что угол $$ATK$$ равен вписанному углу $$TBA$$ , а тот равен половине дуги $$AT$$ .

Слева из точки M вне окружности проведены секущие MA и MC; угол M равен половине разности дальней дуги AC и ближней дуги BD. Справа касательная TK и хорда TA; угол ATK равен половине дуги AT. — Вершина вне окружности — полуразность дуг; касательная и хорда — половина дуги внутри угла.

Угол между касательной и секущей

Из точки $$M$$ проведены касательная $$MK$$ и секущая, пересекающая окружность в $$A$$ (ближе) и $$B$$ . Угол равен полуразности дуг $$KB$$ и $$KA$$ :

\angle KMB = \frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{KB} - \overset{\frown}{KA}\right).

Это тот же случай «вершина вне окружности», только одна секущая превратилась в касательную. Тот же ответ дают две касательные из одной точки: угол между ними равен полуразности большей и меньшей дуг.

Как решать задачи

Найдите вершину угла: внутри окружности, на ней или снаружи.
Определите дуги, заключённые между сторонами угла (для хорд — ещё и между продолжениями сторон).
Внутри — полусумма, снаружи — полуразность (большая минус меньшая), на окружности — половина дуги.
Если дуги неизвестны, а известен угол — запишите формулу как уравнение и выразите дугу.
Помните, что все дуги окружности вместе дают $360^\circ$ : часто недостающая дуга находится вычитанием.

Разобранные примеры

База

Пересекающиеся хорды

Условие

Хорды $$PQ$$ и $$RS$$ пересекаются в точке $$E$$ . Дуга $$PR$$ равна $100^\circ$ , дуга $$QS$$ равна $40^\circ$ (они лежат внутри угла $$PER$$ и вертикального ему). Найдите угол $$PER$$ и смежный с ним угол $$PES$$ .

Дано

$\overset{\frown}{PR} = 100^\circ$
$\overset{\frown}{QS} = 40^\circ$

Найти

$\angle PER$
$\angle PES$

Решение

$\angle PER = \dfrac{1}{2}(100^\circ + 40^\circ) = 70^\circ$ . Смежный угол $\angle PES = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .

Ответ: ∠PER = 70°, ∠PES = 110°

Средний

Две секущие

Условие

Угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен $25^\circ$ . Ближняя дуга внутри угла равна $45^\circ$ . Найдите дальнюю дугу.

Дано

$\angle M = 25^\circ$
ближняя дуга $45^\circ$

Найти

дальнюю дугу $$x$$

Решение

$25^\circ = \dfrac{1}{2}(x - 45^\circ)$ , откуда $x - 45^\circ = 50^\circ$ , $x = 95^\circ$ .

Ответ: 95°

Сложный

Касательная и хорда

Условие

Хорда $$AB$$ делит окружность на дуги, которые относятся как $$5 : 13$$ . Через точку $$A$$ проведена касательная. Найдите углы между касательной и хордой.

Дано

дуги $$5x$$ и $$13x$$

Найти

углы между касательной и хордой $$AB$$

Решение

$18x = 360^\circ$ , $x = 20^\circ$ , дуги равны $100^\circ$ и $260^\circ$ . Касательная и хорда образуют два смежных угла; каждый равен половине дуги внутри него: $50^\circ$ и $130^\circ$ . Проверка: $50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$ .

Ответ: 50° и 130°

Типичные ошибки

Путают полусумму и полуразность

Почему неверно

Если вершина внутри окружности, угол больше, чем половина каждой дуги, — дуги складываются. Если снаружи — угол меньше, дуги вычитаются.

Как правильно

Сначала определите положение вершины: внутри — сумма, снаружи — разность, на окружности — половина одной дуги.

Для хорд берут две дуги, лежащие по бокам

Почему неверно

Хорды делят окружность на четыре дуги. В формулу угла $$AMC$$ входят дуга внутри этого угла и дуга внутри вертикального ему угла, а не соседние.

Как правильно

Продлите стороны угла через вершину: нужные дуги лежат «напротив» друг друга.

Забывают делить на 2

Почему неверно

Угол между касательной и хордой иногда приравнивают дуге, как центральный. Но вершина лежит на окружности, а не в центре.

Как правильно

Угол с вершиной на окружности (вписанный или между касательной и хордой) равен половине дуги.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Хорды AB и CD пересекаются в точке M. Дуга AC равна 84°, дуга BD равна 46° (дуги лежат внутри угла AMC и вертикального ему угла). Найдите угол AMC.

Подсказка

Угол между хордами равен полусумме дуг.

Решение

$\angle AMC = \dfrac{1}{2}(84^\circ + 46^\circ) = \dfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ$ .

Ответ

65°

База Задача 2

Через конец хорды AB проведена касательная AK. Дуга AB, лежащая внутри угла BAK, равна 128°. Найдите угол BAK.

Подсказка

Угол между касательной и хордой равен половине дуги внутри угла.

Решение

$\angle BAK = \dfrac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ$ .

Ответ

64°

Средний Задача 3

Из точки M вне окружности проведены две секущие. Дуги, заключённые внутри угла, равны 150° и 38°. Найдите угол между секущими.

Подсказка

Вершина вне окружности — значит, полуразность дуг.

Решение

$\angle M = \dfrac{1}{2}(150^\circ - 38^\circ) = \dfrac{112^\circ}{2} = 56^\circ$ .

Ответ

56°

Средний Задача 4

Хорды пересекаются под углом 70°. Одна из дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, равна 90°. Найдите другую дугу.

Подсказка

Полусумма дуг равна 70°, значит, сумма дуг равна 140°.

Решение

Сумма двух дуг равна $2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$ , поэтому другая дуга равна $140^\circ - 90^\circ = 50^\circ$ .

Ответ

50°

Сложный Задача 5

Из точки M проведены касательная MK (K — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках A и B (A ближе к M). Дуги KB и KA, на которые K делит дугу внутри угла, относятся как 3 к 1, а угол KMB равен 40°. Найдите эти дуги.

Подсказка

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг. Обозначьте дуги 3x и x.

Решение

По теореме об угле между касательной и секущей $40^\circ = \dfrac{1}{2}(3x - x) = x$ . Значит, $\overset{\frown}{KA} = 40^\circ$ , $\overset{\frown}{KB} = 120^\circ$ .

Ответ

◡KA = 40°, ◡KB = 120°

Сложный Задача 6

Из точки M вне окружности проведены две касательные MA и MB (A и B — точки касания). Меньшая дуга AB равна 100°. Найдите угол AMB.

Подсказка

Угол между касательной MA и хордой AB равен половине меньшей дуги. Какой треугольник MAB?

Решение

Угол между касательной $$MA$$ и хордой $$AB$$ равен $\dfrac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$ , так же $\angle MBA = 50^\circ$ . Тогда в треугольнике $$MAB$$ угол $M = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$ . Иначе — полуразность дуг $\dfrac{1}{2}(260^\circ - 100^\circ) = 80^\circ$ .

Ответ

80°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте окружность и три угла, стороны которых пересекают окружность: с вершиной в центре, на окружности и снаружи. Пусть ребёнок замерит транспортиром и сравнит с дугами. Правило запоминается так: центр — дуга целиком, на окружности — половина, внутри — полусумма, снаружи — полуразность. Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равен угол между хордами, если дуги 80° и 40°? 2) А угол между секущими с теми же дугами? 3) Почему угол между касательной и хордой похож на вписанный? На что обратить внимание. Главное — правильно выбрать дуги: они лежат между сторонами угла.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 81	773, 775, 776, 777, 778, 782, 783