Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IX, задание 821

Задача 1

Условие (кратко)

В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ — середины дуг AB, BC, CD, DA. Докажите, что прямые A₁C₁ и B₁D₁ перпендикулярны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ вписан в окружность; $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , $$D_1$$ — середины дуг $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ (не содержащих других вершин). Доказать: $A_1C_1 \perp B_1D_1$ .

Точки идут по окружности в порядке $$A, A_1, B, B_1, C, C_1, D, D_1$$ , поэтому хорды $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ пересекаются в некоторой точке $$P$$ .
Обозначим дуги: $\smile AB = 2x$ , $\smile BC = 2y$ , $\smile CD = 2z$ , $\smile DA = 2t$ ; $2x + 2y + 2z + 2t = 360^\circ$ .
Дуга $$A_1B_1$$ (через $$B$$ ) равна $$x + y$$ , дуга $$C_1D_1$$ (через $$D$$ ) равна $$z + t$$ .
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
$\angle A_1PB_1 = \dfrac{1}{2}\left((x + y) + (z + t)\right) = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ.$

Ответ

Утверждение доказано: угол между A₁C₁ и B₁D₁ равен 90°

Почему так

Угол между хордами равен полусумме дуг A₁B₁ и C₁D₁, а эти дуги вместе составляют половину окружности.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).