Задача 1
Около треугольника ABC описана окружность. Биссектрисы углов A, B, C пересекают её в точках A₁, B₁, C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁, CC₁ содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.
Решение
Дано: окружность описана около \(\triangle ABC\); биссектрисы углов \(A\), \(B\), \(C\) пересекают её в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Доказать: \(AA_1 \perp B_1C_1\), \(BB_1 \perp A_1C_1\), \(CC_1 \perp A_1B_1\).
-
Пусть углы треугольника равны \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Вписанный угол \(A\) опирается на дугу \(BC\), поэтому \(\smile BC = 2\alpha\); так же \(\smile CA = 2\beta\), \(\smile AB = 2\gamma\) (дуги, не содержащие третьей вершины).
-
Равные вписанные углы \(BAA_1\) и \(A_1AC\) опираются на равные дуги, поэтому \(A_1\) — середина дуги \(BC\): \(\smile BA_1 = \smile A_1C = \alpha\). Так же \(\smile CB_1 = \smile B_1A = \beta\), \(\smile AC_1 = \smile C_1B = \gamma\).
-
Точки идут по окружности в порядке \(A, C_1, B, A_1, C, B_1\), поэтому хорды \(AA_1\) и \(B_1C_1\) пересекаются в точке \(P\). Угол между хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
\[\angle APC_1 = \dfrac{1}{2}\left(\smile AC_1 + \smile A_1CB_1\right) = \dfrac{1}{2}(\gamma + \alpha + \beta) = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ.\] -
Значит, прямая \(AA_1\) проходит через вершину \(A_1\) и перпендикулярна стороне \(B_1C_1\) — она содержит высоту треугольника \(A_1B_1C_1\). Для \(BB_1\) и \(CC_1\) рассуждение такое же.
Ответ
Точки A₁, B₁, C₁ — середины дуг, и угол между хордами AA₁ и B₁C₁ равен половине суммы α + β + γ, то есть 90°.
Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».