Задача 1
Прямые AA₁, BB₁, CC₁, содержащие высоты остроугольного треугольника ABC, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) остроугольный, \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — прямые, содержащие высоты; \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — их вторые точки пересечения с описанной окружностью. Доказать: \(B_1B\) — биссектриса угла \(A_1B_1C_1\) (для остальных — так же).
-
Высота \(CC_1\) перпендикулярна \(AB\), поэтому в прямоугольном треугольнике, образованном стороной \(BC\), высотой и стороной \(AB\), \(\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B\). Так же высота \(AA_1 \perp BC\) даёт \(\angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B\). Значит, \(\angle BCC_1 = \angle BAA_1\).
-
Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат на сторонах и точки идут по окружности в порядке \(A, C_1, B, A_1, C, B_1\).
-
Вписанные углы \(C_1B_1B\) и \(C_1CB\) опираются на одну дугу \(C_1B\) (точки \(B_1\) и \(C\) лежат на другой дуге), поэтому \(\angle C_1B_1B = \angle C_1CB\). Вписанные углы \(A_1B_1B\) и \(A_1AB\) опираются на дугу \(A_1B\), поэтому \(\angle A_1B_1B = \angle A_1AB\).
-
Из пунктов 1 и 3: \(\angle C_1B_1B = \angle A_1B_1B = 90^\circ - \angle B\). Значит, луч \(B_1B\) — биссектриса угла \(A_1B_1C_1\). Для \(AA_1\) и \(CC_1\) доказательство такое же.
Ответ
Равные углы BCC₁ и BAA₁ (оба 90° − ∠B) опираются на дуги, на которые опираются половинки угла B₁, поэтому эти половинки равны.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».