Задание 1

Дано: \(ABCD\) — произвольный четырёхугольник (выпуклый или невыпуклый). Доказать: равными ему плитками можно без пробелов и наложений покрыть сколь угодно большую часть плоскости.

План исследования.

1. Вспомнить, что утверждает задача 826: из одинаковых плиток в форме любого выпуклого четырёхугольника можно сложить паркет. Там плитки получают друг из друга центральной симметрией относительно середин сторон, складывают из них полосу, а полосы прикладывают друг к другу.
2. Выяснить, какие факты в этом рассуждении нужны на самом деле: сумма углов \(360^\circ\) и свойства центральной симметрии.
3. Проверить эти факты для невыпуклого четырёхугольника.
4. Сформулировать способ, в котором выпуклость нигде не используется.

Шаг 1. Сумма углов невыпуклого четырёхугольника тоже равна \(360^\circ\).

Пусть угол \(D\) больше \(180^\circ\). Диагональ \(BD\), выходящая из вершины этого угла, лежит внутри четырёхугольника и делит его на треугольники \(ABD\) и \(CBD\). В них \(\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ\) и \(\angle C + \angle CBD + \angle CDB = 180^\circ\). Так как \(\angle ABD + \angle CBD = \angle B\) и \(\angle ADB + \angle CDB = \angle D\), получаем \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\).

Шаг 2. Способ укладки. Обозначим плитку \(Q = ABCD\). Новые плитки получаем центральной симметрией относительно середины стороны уже уложенной плитки. При такой симметрии сторона переходит в себя (концы меняются местами), а плитка — в равную ей плитку по другую сторону от этой стороны. Две плитки прилегают друг к другу целой стороной и не перекрываются. Выпуклость здесь не нужна.

Шаг 3. Проверка «вокруг вершины». Рассмотрим вершину \(B\). К ней примыкают четыре плитки:

• сама \(Q\) — с углом \(\angle B\);
• плитка \(Q_1\), симметричная \(Q\) относительно середины \(AB\): вершина \(A\) переходит в \(B\), у \(Q_1\) при точке \(B\) угол \(\angle A\); \(Q\) и \(Q_1\) имеют общую сторону \(AB\);
• плитка \(Q_2\), симметричная \(Q\) относительно середины \(BC\): у неё при точке \(B\) угол \(\angle C\), общая сторона с \(Q\) — \(BC\);
• плитка \(Q_3\) — копия \(Q\), сдвинутая так, что вершина \(D\) попала в \(B\) (сдвиг на отрезок \(DB\)): у неё при \(B\) угол \(\angle D\).

Сторона \(Q_1\) при точке \(B\), кроме \(BA\), — образ стороны \(AD\): она выходит из \(B\) параллельно \(AD\), в ту же сторону, что и луч от \(D\) к \(A\), и равна \(AD\). У \(Q_3\) при точке \(B\) — сдвинутая сторона \(DA\): тот же отрезок. Значит, \(Q_1\) и \(Q_3\) прилегают целой стороной. Так же \(Q_2\) и \(Q_3\) имеют общую сторону — образ \(DC\). Четыре плитки обходят точку \(B\) по кругу, соседние прилегают сторонами, а их углы при \(B\) — это \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\), в сумме \(360^\circ\) (шаг 1). Поэтому они закрывают окрестность точки \(B\) без щелей и наложений — и когда один из углов больше \(180^\circ\) тоже. Для остальных вершин рассуждение такое же.

Шаг 4. Весь паркет. Плитки укладываются двумя «семействами»: копии \(Q\) и копии \(Q_1\), сдвинутые на целые числа диагоналей — на отрезок \(AC\) и на отрезок \(BD\) в обе стороны и их сочетания (две центральные симметрии подряд относительно середин соседних сторон дают как раз такой сдвиг). У любого четырёхугольника диагонали не параллельны, поэтому сдвиги заполняют плоскость во все стороны. В каждой вершине паркета сходятся четыре плитки с углами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), по каждой стороне — две плитки.

Вывод. Паркет из равных плиток можно сложить из любого четырёхугольника — выпуклого и невыпуклого. Способ из задачи 826 (симметрии относительно середин сторон) годится и для невыпуклого случая, потому что он опирается только на сумму углов \(360^\circ\) и центральную симметрию.

Что можно исследовать дальше. Любой треугольник тоже даёт паркет (два треугольника, симметричные относительно середины стороны, образуют параллелограмм). А для произвольного пятиугольника этот способ не работает: сумма его углов \(540^\circ\), и собрать в каждой вершине паркета углы в сумме \(360^\circ\) так же просто не удаётся — это можно исследовать отдельно.