Задание 2

План исследования.

1. Сформулировать и доказать теорему Птолемея (задача 916).
2. Решить с её помощью задачи 912 и 865.
3. Найти следствия: теорему Пифагора, диагональ правильного пятиугольника, диагональ равнобедренной трапеции.
4. Составить свои задачи.

1. Теорема Птолемея. Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Дано: четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Доказать: \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\).

Вписанный четырёхугольник выпуклый, поэтому луч \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\). Проведём внутри угла \(ABC\) луч, образующий со стороной \(BA\) угол, равный \(\angle DBC\). Он пересекает диагональ \(AC\) в точке \(K\), \(\angle ABK = \angle DBC\).

• Треугольники \(ABK\) и \(DBC\) подобны: \(\angle ABK = \angle DBC\), \(\angle BAK = \angle BDC\) (вписанные углы, опирающиеся на дугу \(BC\)). Отсюда \(\dfrac{AK}{DC} = \dfrac{AB}{DB}\), то есть \(AK \cdot BD = AB \cdot CD\).
• \(\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle DBC = \angle ABD\). Треугольники \(KBC\) и \(ABD\) подобны: \(\angle KBC = \angle ABD\), \(\angle BCK = \angle BDA\) (опираются на дугу \(AB\)). Отсюда \(KC \cdot BD = BC \cdot AD\).
• Складываем: \((AK + KC) \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\), а \(AK + KC = AC\).

2. Задача 912 (что утверждает: точка \(X\) описанной окружности равностороннего треугольника \(ABC\) соединена с вершинами; один из отрезков \(XA\), \(XB\), \(XC\) равен сумме двух других). Пусть \(X\) лежит на дуге \(AB\), не содержащей \(C\). Четырёхугольник \(AXBC\) вписан, его диагонали \(AB\) и \(XC\). По теореме Птолемея \(XC \cdot AB = XA \cdot BC + XB \cdot AC\). Все стороны треугольника равны, сокращаем: \(XC = XA + XB\).

3. Задача 865 (что утверждает: в треугольнике с углами \(\angle A = \dfrac{180^\circ}{7}\), \(\angle B = \dfrac{360^\circ}{7}\) выполнено \(\dfrac{1}{BC} = \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{AB}\)). Углы треугольника — \(\varphi\), \(2\varphi\), \(4\varphi\), где \(\varphi = \dfrac{180^\circ}{7}\). Впишем его в окружность. Противолежащие этим углам дуги равны \(2\varphi\), \(4\varphi\), \(8\varphi\) — это \(1\), \(2\) и \(4\) седьмых части окружности. Значит, стороны треугольника — это сторона \(a = BC\), короткая диагональ \(b = AC\) и длинная диагональ \(c = AB\) правильного семиугольника \(V_0V_1 \ldots V_6\), вписанного в ту же окружность (хорда на \(4\) седьмых равна хорде на \(3\) седьмых). Применим теорему Птолемея к четырёхугольнику \(V_0V_1V_2V_4\): его стороны \(a\), \(a\), \(b\), \(c\), диагонали \(V_0V_2 = b\) и \(V_1V_4 = c\):

4. Следствия и свои задачи.

а) Теорема Пифагора как частный случай. Прямоугольник со сторонами \(a\), \(b\) и диагональю \(d\) вписан в окружность. По теореме Птолемея \(d \cdot d = a \cdot a + b \cdot b\), то есть \(d^2 = a^2 + b^2\).

б) Диагональ равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция вписана в окружность; если основания \(a\) и \(b\), боковые стороны \(c\), диагональ \(d\), то \(d^2 = ab + c^2\). Пример: основания \(10\) и \(4\), боковая сторона \(5\). Тогда \(d^2 = 10 \cdot 4 + 5^2 = 65\), \(d = \sqrt{65}\). Проверка по теореме Пифагора: высота \(\sqrt{5^2 - 3^2} = 4\), проекция диагонали на большее основание \(\dfrac{10 + 4}{2} = 7\), \(d^2 = 7^2 + 4^2 = 65\) — совпало.

в) Правильный пятиугольник. Сторона \(a\), диагональ \(d\). Четыре соседние вершины образуют вписанный четырёхугольник со сторонами \(a\), \(a\), \(a\), \(d\) и диагоналями \(d\), \(d\): \(d^2 = a^2 + ad\). Отсюда \(\left(\dfrac{d}{a}\right)^2 - \dfrac{d}{a} - 1 = 0\) и \(\dfrac{d}{a} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\) — «золотое сечение».

г) Своя задача. Квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\) вписан в окружность, точка \(P\) лежит на дуге \(AB\), не содержащей \(C\) и \(D\). Докажите, что \(PC + PD = (1 + \sqrt{2})(PA + PB)\). Указание: примените теорему Птолемея к \(PBCD\) и к \(APCD\) (оба вписаны) — получится \(PC \cdot a\sqrt{2} = PB \cdot a + PD \cdot a\) и \(PD \cdot a\sqrt{2} = PA \cdot a + PC \cdot a\); сложите и упростите.

Вывод. Теорема Птолемея связывает все шесть отрезков между четырьмя точками окружности и заменяет длинные цепочки подобных треугольников одной строкой. Для четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, вместо равенства верно строгое неравенство \(AC \cdot BD < AB \cdot CD + BC \cdot AD\) — это можно исследовать отдельно.