Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 3

Условие (кратко)

(Исследовательская задача, 8 класс.) Окружность Эйлера (задача 918). Дополнительно исследовать, сколько из девяти точек, указанных в задаче 918, могут быть различными.

Решение

Обозначения задачи 918: $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ ; $$A_2$$ , $$B_2$$ , $$C_2$$ — середины $$AH$$ , $$BH$$ , $$CH$$ ; $$A_3$$ , $$B_3$$ , $$C_3$$ — середины $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ ; $$O$$ и $$R$$ — центр и радиус описанной окружности.

План исследования.

Вспомнить, что утверждает задача 918: девять точек лежат на одной окружности (окружности Эйлера).
Найти все случаи, когда какие-то из девяти точек совпадают.
Перебрать виды треугольников и сосчитать различные точки.

1. Окружность Эйлера. Пусть $$N$$ — середина $$OH$$ . Как показано в лемме исследовательской задачи 5, $OA_3 \parallel AH$ и $OA_3 = \dfrac{AH}{2} = A_2H$ , поэтому $$A_2HA_3O$$ — параллелограмм, и середина $$N$$ его диагонали $$OH$$ — середина $$A_2A_3$$ . Кроме того, $$A_2A_3 = AO = R$$ . Угол $$A_2A_1A_3$$ прямой, поэтому $$A_1$$ тоже удалена от $$N$$ на $\dfrac{A_2A_3}{2} = \dfrac{R}{2}$ . Так же для вершин $$B$$ и $$C$$ . Итак, все девять точек лежат на окружности с центром $$N$$ и радиусом $\dfrac{R}{2}$ .

2. Какие точки могут совпасть.

Прямоугольный треугольник ( $\angle C = 90^\circ$ ). Тогда $$H = C$$ , и $$A_1 = B_1 = C_2 = C$$ , $$A_2 = B_3$$ (середина $$AC$$ ), $$B_2 = A_3$$ (середина $$BC$$ ). Различных точек остаётся пять: $$C$$ , $$A_3$$ , $$B_3$$ , $$C_1$$ , $$C_3$$ . Если к тому же $$CA = CB$$ , то основание высоты $$C_1$$ совпадает с серединой гипотенузы $$C_3$$ — остаётся четыре.

Непрямоугольный треугольник. Точки «разных вершин» не совпадают:

$$A_1 = B_1$$ возможно только в точке $$C$$ (общая точка прямых $$BC$$ и $$AC$$ ), а это значит $\angle C = 90^\circ$ ;
$$A_3 = B_2$$ или $$A_2 = B_3$$ означает $$H = C$$ , то есть снова $\angle C = 90^\circ$ ;
$$A_2 = B_1$$ : точка $$A_2$$ лежит на высоте из $$A$$ , а $$B_1$$ — на прямой $$AC$$ ; общая точка только $$A$$ , тогда $$H = A$$ и $\angle A = 90^\circ$ ; так же $$A_1 = B_2$$ ;
$$A_3 = B_1$$ или $$A_1 = B_3$$ : общая точка прямых $$BC$$ и $$AC$$ — вершина $$C$$ , но середина стороны с вершиной не совпадает;
$$A_2 = B_2$$ или $$A_3 = B_3$$ означало бы $$A = B$$ .

Остаются совпадения внутри одной тройки $$A_1$$ , $$A_2$$ , $$A_3$$ (и аналогичных для $$B$$ и $$C$$ ):

$A_2 \ne A_3$ : иначе диагонали $$AH$$ и $$BC$$ четырёхугольника $$ABHC$$ делились бы пополам, $$ABHC$$ был бы параллелограммом и $BH \parallel AC$ , а ведь $BH \perp AC$ ;
$$A_1 = A_3$$ тогда и только тогда, когда высота из $$A$$ является медианой, то есть $$AB = AC$$ ;
$$A_1 = A_2$$ тогда и только тогда, когда $|\angle B - \angle C| = 90^\circ$ .

Докажем последнее. $$A_1 = A_2$$ означает, что $$A_1$$ — середина $$AH$$ , то есть $$H$$ симметрична $$A$$ относительно $$BC$$ . В остроугольном треугольнике $$H$$ лежит внутри, $$A_2$$ внутри треугольника и не может лежать на $$BC$$ . Если тупой угол $$A$$ , то $$H$$ лежит на продолжении высоты за точку $$A$$ , и вся середина $$AH$$ — по ту же сторону от $$BC$$ , что и $$A$$ . Значит, тупой один из углов $$B$$ , $$C$$ , пусть $\angle B$ . Тогда $$A_1$$ лежит на продолжении $$CB$$ за точку $$B$$ , а $$H$$ — на продолжении высоты $$B_1B$$ за точку $$B$$ . Прямоугольные треугольники $$BA_1A$$ и $$BA_1H$$ равны по двум катетам ( $$A_1A = A_1H$$ , катет $$BA_1$$ общий), поэтому $\angle A_1BA = \angle A_1BH$ . Но $\angle A_1BA = 180^\circ - \angle B$ (смежный), а $\angle A_1BH = \angle CBB_1 = 90^\circ - \angle C$ (вертикальные; треугольник $$BB_1C$$ прямоугольный). Получаем $180^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle C$ , то есть $\angle B - \angle C = 90^\circ$ . Рассуждая в обратном порядке, из $\angle B - \angle C = 90^\circ$ получаем $$A_1 = A_2$$ . Пример: треугольник с углами $50^\circ$ , $110^\circ$ , $20^\circ$ .

3. Подсчёт. В непрямоугольном треугольнике различных точек $$9 - k$$ , где $$k$$ — число вершин, у которых «своя» тройка даёт совпадение.

$$k = 0$$ — общий случай: 9 точек.
$$k = 1$$ : равнобедренный (не равносторонний) треугольник, кроме случая ниже, или треугольник с $|\angle B - \angle C| = 90^\circ$ — 8 точек.
$$k = 2$$ невозможно. Условие «разность углов $90^\circ$ » требует тупого угла, а он один. Если оно выполнено для двух вершин, то, скажем, $\angle B - \angle C = 90^\circ$ и $\angle B - \angle A = 90^\circ$ , откуда $\angle A = \angle C$ — треугольник ещё и равнобедренный, и $$k = 3$$ . Два равенства сторон дают равносторонний треугольник, тоже $$k = 3$$ . Равнобедренность при вершине $$A$$ ( $\angle B = \angle C$ ) вместе с условием $\angle A - \angle B = 90^\circ$ даёт $\angle B = \angle C = 30^\circ$ , $\angle A = 120^\circ$ — и тогда выполнено и $\angle A - \angle C = 90^\circ$ , снова $$k = 3$$ .
$$k = 3$$ : равносторонний треугольник (основания высот совпадают с серединами сторон) или треугольник с углами $30^\circ$ , $30^\circ$ , $120^\circ$ — 6 точек.

Вывод. Различных точек может быть 9, 8, 6, 5 или 4. Семи точек не бывает, меньше четырёх — тоже.

Ответ

Девять точек лежат на окружности с центром в середине OH и радиусом R/2. Различных точек может быть 9, 8, 6 (равносторонний и 30°, 30°, 120°), 5 (прямоугольный) или 4 (равнобедренный прямоугольный); 7 не бывает.

Почему так

В непрямоугольном треугольнике совпадают только основание высоты с серединой стороны (AB = AC) или с серединой AH (|∠B − ∠C| = 90°), в прямоугольном H совпадает с вершиной.

Подробнее — в теме «Замечательные точки треугольника».

Задание 3

Задача 1