Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения…

Серединных перпендикуляров к сторонам

Где находится ортоцентр прямоугольного треугольника?

В середине гипотенузы

Внутри треугольника, но не в вершине

В каком треугольнике все четыре замечательные точки совпадают?

В любом равнобедренном

В любом остроугольном

Замечательные точки треугольника — 8 класс, геометрия: объяснение

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Средняя линия треугольника

Коротко о главном

В любом треугольнике пересекаются в одной точке три медианы, три биссектрисы, три серединных перпендикуляра к сторонам и три высоты (или их продолжения). Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника: центроид, центр вписанной окружности, центр описанной окружности и ортоцентр.

Подробное объяснение

Нарисуйте треугольник и проведите три любые прямые — скорее всего, они образуют маленький треугольник, а не пройдут через одну точку. Но медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры и высоты каждый раз сходятся точно в одной точке. Поэтому такие точки и называют замечательными.

Четыре точки

Что пересекается	Название точки	Чем она особенна
Медианы	Центроид (центр масс)	Делит каждую медиану $$2 : 1$$ от вершины
Биссектрисы	Центр вписанной окружности	Равноудалена от сторон
Серединные перпендикуляры к сторонам	Центр описанной окружности	Равноудалена от вершин
Высоты или их продолжения	Ортоцентр	—

Первые три факта уже известны: про биссектрисы и серединные перпендикуляры — из 7 класса, про медианы — из теоремы о средней линии. Осталось разобраться с высотами.

Один и тот же треугольник ABC четыре раза. Медианы пересекаются в точке G, биссектрисы — в центре I вписанной окружности, серединные перпендикуляры — в центре O описанной окружности, высоты — в точке H. — Центроид G, центр вписанной окружности I, центр описанной окружности O и ортоцентр H.

Почему высоты пересекаются в одной точке

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Идея доказательства — свести высоты к серединным перпендикулярам, про которые всё уже доказано. Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведём прямую, параллельную противоположной стороне. Получится большой треугольник $$A_2B_2C_2$$ .

$$ABA_2C$$ и $$ABCB_2$$ — параллелограммы (стороны попарно параллельны), поэтому $$CA_2 = AB$$ и $$B_2C = AB$$ . Значит, $$C$$ — середина стороны $$A_2B_2$$ . Так же $$A$$ и $$B$$ — середины двух других сторон.
Высота $$CC_1$$ перпендикулярна $$AB$$ , а $A_2B_2 \parallel AB$ , поэтому прямая $$CC_1$$ перпендикулярна $$A_2B_2$$ и проходит через её середину. Это серединный перпендикуляр.

Так все три высоты треугольника $$ABC$$ лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника $$A_2B_2C_2$$ , а те пересекаются в одной точке.

Через вершины треугольника ABC проведены прямые, параллельные противоположным сторонам, получился большой треугольник A₂B₂C₂. A, B, C — середины его сторон, высоты ABC лежат на его серединных перпендикулярах и пересекаются в точке H. — Высоты треугольника ABC — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника A₂B₂C₂, поэтому проходят через одну точку.

Где лежат точки

Центроид и центр вписанной окружности всегда внутри треугольника: медианы и биссектрисы не выходят за его пределы. С двумя другими точками всё зависит от вида треугольника:

остроугольный — центр описанной окружности и ортоцентр внутри;
прямоугольный — центр описанной окружности в середине гипотенузы, ортоцентр в вершине прямого угла (катеты сами являются высотами);
тупоугольный — обе точки снаружи; ортоцентр получается при пересечении продолжений высот.

В равнобедренном треугольнике все четыре точки лежат на одной прямой — на медиане к основанию. В равностороннем они совпадают: каждая медиана там одновременно биссектриса, высота и лежит на серединном перпендикуляре. Тогда радиус описанной окружности — $\dfrac{2}{3}$ медианы, а вписанной — $\dfrac{1}{3}$ .

Любопытный факт, который доказывают в старших классах: в любом неравностороннем треугольнике центроид, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой — её называют прямой Эйлера.

Как решать задачи

Определите, о какой точке речь: по названию окружности или по тому, какие линии пересекаются.
Вспомните её свойство: равные расстояния до вершин ( $$R$$ ) или до сторон ( $$r$$ ), деление медианы $$2 : 1$$ .
Посмотрите на вид треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний — тогда многие точки лежат на одной линии или совпадают.
Длины находите по теореме Пифагора и по отношению $$2 : 1$$ для медиан.
Чтобы найти точку на чертеже, достаточно провести две линии: третья пройдёт через ту же точку.

Разобранные примеры

База

Равносторонний треугольник

Условие

Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Найдите расстояние от его центра до вершины и до стороны.

Дано

сторона $$a = 12$$ см

Найти

$$R$$ и $$r$$

Решение

В равностороннем треугольнике все замечательные точки совпадают в точке $$O$$ на высоте-медиане.
Высота $h = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.
$$O$$ делит медиану в отношении $$2 : 1$$ от вершины: до вершины $R = \dfrac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см, до стороны $r = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: 4√3 см до вершины, 2√3 см до стороны

Средний

Четыре точки прямоугольного треугольника

Условие

Катеты прямоугольного треугольника $$ABC$$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) равны 5 см и 12 см. Где лежат его ортоцентр и центр описанной окружности? Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние от $$C$$ до центроида.

Дано

$$AC = 5$$ см
$$BC = 12$$ см
$\angle C = 90^\circ$

Найти

$$R$$
$$r$$
$$CG$$

Решение

Катеты — высоты, поэтому ортоцентр — вершина $$C$$ .
Гипотенуза $AB = \sqrt{25 + 144} = 13$ см. Центр описанной окружности $$M$$ — середина $$AB$$ , $$R = 6{,}5$$ см.
Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2$ см.
Центроид $$G$$ лежит на медиане $$CM$$ , а $$CM = R = 6{,}5$$ см. $CG = \dfrac{2}{3} \cdot 6{,}5 = \dfrac{13}{3}$ см.

Ответ: Ортоцентр — вершина C, центр описанной окружности — середина гипотенузы; R = 6,5 см, r = 2 см, CG = 13/3 см

Сложный

Центр описанной окружности через среднюю линию

Условие

Докажите с помощью средней линии, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.

Решение

Дано: $\angle C = 90^\circ$ , $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$ . Доказать: $$M$$ — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Пусть $$K$$ — середина катета $$AC$$ . Серединный перпендикуляр к $$AC$$ проходит через $$K$$ и перпендикулярен $$AC$$ . Катет $$BC$$ тоже перпендикулярен $$AC$$ , значит, этот серединный перпендикуляр параллелен $$BC$$ .
$$KM$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$ , поэтому $KM \parallel BC$ .
Через точку $$K$$ проходит только одна прямая, параллельная $$BC$$ . Значит, серединный перпендикуляр к $$AC$$ — это прямая $$KM$$ , и он проходит через $$M$$ .
Так же серединный перпендикуляр к $$BC$$ проходит через $$M$$ . Точка $$M$$ — пересечение серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности.

Ответ: Доказано: центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы

Типичные ошибки

Путают центры вписанной и описанной окружностей

Почему неверно

Ищут центр вписанной окружности на пересечении серединных перпендикуляров. Но эта точка равноудалена от вершин, а вписанная окружность касается сторон — её центр должен быть равноудалён от сторон.

Как правильно

Вписанная — касается сторон — биссектрисы (точка равноудалена от сторон). Описанная — проходит через вершины — серединные перпендикуляры (точка равноудалена от вершин).

Считают, что у тупоугольного треугольника высоты не пересекаются

Почему неверно

Две высоты тупоугольного треугольника падают на продолжения сторон, и сами отрезки-высоты друг друга не пересекают. Из этого делают вывод, что ортоцентра нет.

Как правильно

Теорема говорит о прямых, содержащих высоты. Продолжите все три высоты за вершины — они пересекутся в одной точке вне треугольника, за вершиной тупого угла.

Проводят серединный перпендикуляр через вершину

Почему неверно

Серединный перпендикуляр к стороне рисуют из противоположной вершины, как высоту. В разностороннем треугольнике он через вершину не проходит — это разные прямые.

Как правильно

Серединный перпендикуляр строится от середины стороны под прямым углом к ней, без привязки к вершине. С высотой он совпадает только тогда, когда две другие стороны треугольника равны.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Медиана равностороннего треугольника равна 9 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Подсказка

В равностороннем треугольнике медианы являются и биссектрисами, и высотами, и лежат на серединных перпендикулярах. Где окажутся оба центра?

Решение

В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой и лежит на серединном перпендикуляре к стороне. Поэтому центры обеих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан $$O$$ .

$$O$$ делит медиану в отношении $$2 : 1$$ от вершины: $R = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см — расстояние до вершины, $r = \dfrac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см — расстояние до стороны (медиана перпендикулярна стороне).

Ответ

R = 6 см, r = 3 см

База Задача 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние между ортоцентром и центром описанной окружности.

Подсказка

Где пересекаются высоты прямоугольного треугольника? Где центр описанной окружности?

Решение

Два катета — это высоты, проведённые к другим катетам, поэтому высоты пересекаются в вершине прямого угла $$C$$ . Центр описанной окружности — середина гипотенузы $$M$$ .

Гипотенуза $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. Расстояние $$CM$$ — медиана к гипотенузе, она равна половине гипотенузы: $$CM = 5$$ см.

Ответ

5 см

Средний Задача 3

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ боковые стороны $$AB = BC = 15$$ см, основание $$AC = 24$$ см. Найдите расстояния от точки пересечения медиан до основания и до вершины $$B$$ .

Подсказка

Медиана $$BH$$ к основанию является высотой. Найдите её по теореме Пифагора.

Решение

Дано

$$AB = BC = 15$$ см
$$AC = 24$$ см

Найти

расстояния от точки пересечения медиан $$G$$ до $$AC$$ и до $$B$$

Медиана $$BH$$ — высота, $$AH = 12$$ см, $BH = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$ см. Точка $$G$$ лежит на $$BH$$ и делит её $$2 : 1$$ от вершины: $$BG = 6$$ см, $$GH = 3$$ см. Так как $BH \perp AC$ , расстояние до основания равно $$GH = 3$$ см.

Ответ

3 см до основания, 6 см до вершины B

Средний Задача 4

Докажите, что в равнобедренном треугольнике все четыре замечательные точки лежат на одной прямой.

Подсказка

Какими свойствами обладает отрезок, проведённый из вершины к основанию равнобедренного треугольника?

Решение

Дано: $$AB = BC$$ , $$BH$$ — медиана к основанию $$AC$$ . Доказать: четыре замечательные точки лежат на прямой $$BH$$ .

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой и высотой. Значит, на $$BH$$ лежат точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис и точка пересечения высот (или их продолжений). Кроме того, $BH \perp AC$ и $$H$$ — середина $$AC$$ , поэтому прямая $$BH$$ — серединный перпендикуляр к основанию, и на ней лежит центр описанной окружности.

Ответ

Утверждение доказано — все четыре точки лежат на прямой, содержащей медиану к основанию

Сложный Задача 5

Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Подсказка

Найдите высоту по теореме Пифагора, а затем воспользуйтесь тем, что все замечательные точки совпадают.

Решение

Высота (она же медиана) $h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Центры обеих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, которая делит высоту $$2 : 1$$ от вершины: $R = \dfrac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см, $r = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ

R = 2√3 см, r = √3 см

Сложный Задача 6

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и центром описанной окружности.

Подсказка

Обе точки лежат на медиане, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

Гипотенуза $\sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ см. Центр описанной окружности $$M$$ — середина гипотенузы, медиана $$CM$$ равна половине гипотенузы: $$CM = 7{,}5$$ см.

Точка пересечения медиан $$G$$ лежит на $$CM$$ и делит её $$2 : 1$$ от вершины $$C$$ , поэтому $GM = \dfrac{1}{3} \cdot 7{,}5 = 2{,}5$ см.

Ответ

2,5 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги остроугольный треугольник. Сгибая его, получите линии: сгиб, совмещающий две стороны, — биссектриса; сгиб, совмещающий две вершины, — серединный перпендикуляр; сгиб через вершину, при котором сторона ложится сама на себя, — высота. Повторите для всех трёх вершин и сторон — каждый раз три сгиба сойдутся в одной точке. Медианы проведите по середине сторон и удержите треугольник на карандаше в их точке пересечения.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие линии пересекаются в центре вписанной окружности, а какие — в центре описанной? 2) Где ортоцентр у прямоугольного треугольника? 3) В каком треугольнике все четыре точки совпадают?

На что обратить внимание. Важно не просто заучить названия, а связать каждую точку с её свойством: «равноудалена от сторон», «равноудалена от вершин», «делит медианы 2 : 1». И стоит нарисовать тупоугольный треугольник: многие дети уверены, что все четыре точки всегда внутри.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 70	—

Что пересекается	Название точки	Чем она особенна
Медианы	Центроид (центр масс)	Делит каждую медиану $\(2 : 1\)$ от вершины
Биссектрисы	Центр вписанной окружности	Равноудалена от сторон
Серединные перпендикуляры к сторонам	Центр описанной окружности	Равноудалена от вершин
Высоты или их продолжения	Ортоцентр	—