Задание 4

План исследования.

1. Вспомнить, что утверждает задача 919: основания перпендикуляров, проведённых из точки \(D\) описанной окружности треугольника \(ABC\) к прямым \(AB\), \(AC\), \(BC\), лежат на одной прямой (прямая Симсона).
2. Разобрать особые положения точки \(D\).
3. Доказать утверждение в общем случае и понять, как меняется рисунок.
4. Исследовать обратное утверждение.

Обозначим основания перпендикуляров: \(H\) — на прямой \(AB\), \(K\) — на прямой \(AC\), \(M\) — на прямой \(BC\).

Случай 1. \(D\) — вершина треугольника, например \(D = A\). Тогда \(H = K = A\), а \(M\) — основание высоты из \(A\). Прямая Симсона — высота \(AA_1\) (две из трёх точек совпали).

Случай 2. \(D\) диаметрально противоположна вершине, например \(A\). Тогда \(\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ\) (опираются на диаметр), значит, \(H = B\), \(K = C\), и прямая Симсона — сторона \(BC\) (точка \(M\) лежит на ней). В прямоугольном треугольнике с прямым углом \(C\) точка, противоположная \(C\), даёт прямую Симсона \(AB\).

Случай 3. Общий случай: доказательство. Пусть \(D\) — не вершина и, переименовав вершины, лежит на дуге \(AC\), не содержащей \(B\); тогда \(ABCD\) — вписанный четырёхугольник.

1. В четырёхугольнике \(BHDM\) углы при \(H\) и \(M\) прямые, поэтому \(\angle HDM = 180^\circ - \angle B\). Во вписанном \(ABCD\) также \(\angle ADC = 180^\circ - \angle B\). Значит, \(\angle HDM = \angle ADC\) и \(\angle ADH = \angle MDC\) (от равных углов отняли или к ним прибавили общий угол \(ADM\)).
2. \(\angle AHD = \angle AKD = 90^\circ\), поэтому \(H\) и \(K\) лежат на окружности с диаметром \(AD\), и \(\angle AKH = \angle ADH\) (опираются на одну дугу).
3. \(\angle DKC = \angle DMC = 90^\circ\), поэтому \(K\) и \(M\) лежат на окружности с диаметром \(DC\), и \(\angle MKC = \angle MDC\).
4. Итак, \(\angle AKH = \angle MKC\). Точки \(A\) и \(C\) — по разные стороны от \(K\) на прямой \(AC\), а \(H\) и \(M\) — по разные стороны от прямой \(AC\). Равные углы с такими сторонами вертикальные, значит, \(H\), \(K\), \(M\) лежат на одной прямой.

При другом расположении точек (например, \(K\) вне отрезка \(AC\)) равенства пп. 1–3 сохраняются, только часть углов заменяется смежными.

Как располагаются основания. Прямая, не проходящая через вершину, пересекает либо две стороны треугольника (как отрезки), либо ни одной. Поэтому возможны два рисунка:

• два основания лежат на сторонах, третье — на продолжении стороны; прямая Симсона пересекает треугольник. Так бывает всегда в остроугольном и прямоугольном треугольнике;
• все три основания — на продолжениях сторон, прямая Симсона проходит мимо треугольника. Так бывает только в тупоугольном треугольнике: если угол \(A\) тупой, точка \(D\) лежит на дуге \(BC\), не содержащей \(A\), между \(B\) и точкой, диаметрально противоположной \(C\) (или между \(C\) и точкой, противоположной \(B\)).

Граница между рисунками — случаи 1 и 2, когда прямая проходит через вершину.

Случай 4. \(D\) не на описанной окружности. Тогда основания перпендикуляров на одной прямой не лежат. Это следует из обратного утверждения: если \(H\), \(K\), \(M\) на одной прямой, то \(\angle AKH = \angle MKC\) (вертикальные), и, пройдя цепочку пп. 1–3 в обратную сторону, получаем \(\angle ADH = \angle MDC\), затем \(\angle ADC = \angle HDM = 180^\circ - \angle B\). Сумма противоположных углов четырёхугольника \(ABCD\) равна \(180^\circ\), значит, он вписанный и \(D\) лежит на описанной окружности.

Вывод. Основания перпендикуляров из точки \(D\) к прямым сторон лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда \(D\) лежит на описанной окружности. Особые случаи: \(D\) в вершине — прямая Симсона совпадает с высотой; \(D\) напротив вершины — совпадает с противолежащей стороной.