Задание 5

План. Доказать лемму \(AH = 2\,OA_3\) и \(AH \parallel OA_3\); из неё получить, что \(G\) лежит на \(OH\) и \(HG : GO = 2 : 1\); вспомнить, что \(N\) — середина \(OH\) (задача 918); сложить отношения.

1. Лемма. Отрезки \(AH\) и \(OA_3\) параллельны, одинаково направлены (от \(A\) к \(H\) и от \(O\) к \(A_3\)), и \(AH = 2\,OA_3\).

Пусть \(A'\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(A\). Углы \(ABA'\) и \(ACA'\) опираются на диаметр, они прямые. Тогда \(BA' \perp AB\) и \(CH \perp AB\), поэтому \(BA' \parallel CH\); так же \(CA' \parallel BH\). Значит, \(BHCA'\) — параллелограмм, и его диагонали делятся пополам: \(A_3\) — середина \(HA'\). В треугольнике \(AHA'\) отрезок \(OA_3\) соединяет середины сторон \(AA'\) и \(HA'\) — это средняя линия: \(OA_3 \parallel AH\) и \(OA_3 = \dfrac{AH}{2}\). (Если угол \(B\) или \(C\) прямой, параллелограмм вырождается, но вывод тот же: например, при \(\angle B = 90^\circ\) имеем \(H = B\), \(A' = C\), а \(OA_3\) — средняя линия треугольника \(ABC\).)

2. \(O \ne H\). Если \(O = H\), то высота из \(A\) и серединный перпендикуляр к \(BC\) — две прямые, перпендикулярные \(BC\) и проходящие через одну точку, — совпадают. Тогда \(A\) на серединном перпендикуляре к \(BC\) и \(AB = AC\). Так же \(BA = BC\) — треугольник равносторонний, что исключено.

3. Точка \(G\) на прямой \(OH\), \(HG : GO = 2 : 1\).

Если \(\angle A = 90^\circ\), то \(H = A\), \(O = A_3\) (центр — середина гипотенузы), и прямая \(OH\) — медиана \(AA_3\); на ней \(G\), причём \(AG : GA_3 = 2 : 1\), то есть \(HG : GO = 2 : 1\).

Иначе выберем вершину, не лежащую на прямой \(OH\) (все три вершины на одной прямой лежать не могут); пусть это \(A\). Отрезки \(AH\) и \(OA_3\) лежат на разных параллельных прямых (если бы на одной, то \(A\) лежала бы на прямой \(OH\)). По лемме \(AHA_3O\) — трапеция с основаниями \(AH\) и \(OA_3\), а \(AA_3\) и \(HO\) — её диагонали. Пусть они пересекаются в точке \(G'\). Треугольники \(G'AH\) и \(G'A_3O\) подобны (вертикальные углы при \(G'\) и накрест лежащие углы при параллельных прямых), коэффициент \(\dfrac{AH}{OA_3} = 2\). Поэтому \(AG' : G'A_3 = 2 : 1\) и \(HG' : G'O = 2 : 1\). Но на медиане \(AA_3\) точка, делящая её в отношении \(2 : 1\) от вершины, — это точка пересечения медиан. Значит, \(G' = G\): \(G\) лежит на отрезке \(OH\) и \(HG = 2\,GO\).

4. Центр окружности Эйлера — середина \(OH\). Пусть \(A_2\) — середина \(AH\). По лемме \(A_2H = \dfrac{AH}{2} = OA_3\), и эти отрезки параллельны и одинаково направлены, поэтому \(A_2HA_3O\) — параллелограмм (возможно, вырожденный). Его диагонали \(A_2A_3\) и \(OH\) делятся точкой пересечения пополам, то есть середина \(N\) отрезка \(OH\) — середина \(A_2A_3\). Кроме того, \(AA_2A_3O\) — параллелограмм (\(AA_2 = OA_3\), \(AA_2 \parallel OA_3\)), поэтому \(A_2A_3 = AO = R\) и \(NA_2 = NA_3 = \dfrac{R}{2}\). Точка \(N\) не зависит от выбора вершины, так что от середин всех сторон и всех отрезков \(AH\), \(BH\), \(CH\) она удалена на \(\dfrac{R}{2}\), — это центр окружности Эйлера (задача 918).

5. Отношения. Пусть \(OH = 6x\). Тогда \(HG = 4x\), \(GO = 2x\), \(HN = NO = 3x\). Точки идут в порядке \(H\), \(N\), \(G\), \(O\), и

Замечания. В равнобедренном треугольнике все четыре точки лежат на оси симметрии. В прямоугольном треугольнике прямая Эйлера — медиана, проведённая к гипотенузе (\(H\) — вершина прямого угла, \(O\) — середина гипотенузы). В равностороннем треугольнике все четыре точки совпадают, и прямой Эйлера нет.