Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 3

Задача 1

Условие (кратко)

(Комплексное задание 3, 8 класс.) Круглую клумбу делят на части шаблонами-секторами с углом 30°, 45°, 60°, 75°, 90° с вершиной в центре. Можно применить только один шаблон. Сколькими шаблонами можно воспользоваться?

Решение

Дано

шаблоны — секторы с центральными углами $30^\circ$
$45^\circ$
$60^\circ$
$75^\circ$
$90^\circ$

Найти

сколькими шаблонами можно разделить клумбу
если применять только один шаблон

Анна стоит в центре клумбы, шаблон прикладывают вершиной угла к центру. Части клумбы — секторы с центральным углом $\alpha$ . Все центральные углы вокруг центра в сумме составляют полный угол $360^\circ$ . Если применяется один шаблон $$k$$ раз, то $k \cdot \alpha = 360^\circ$ , то есть $360^\circ$ должно делиться на $\alpha$ нацело:

$360^\circ : 30^\circ = 12$ — подходит;
$360^\circ : 45^\circ = 8$ — подходит;
$360^\circ : 60^\circ = 6$ — подходит;
$360^\circ : 75^\circ = 4{,}8$ — не подходит: после четырёх частей останется сектор $60^\circ$ ;
$360^\circ : 90^\circ = 4$ — подходит.

Подходят четыре шаблона: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ и $90^\circ$ .

Ответ

4 шаблона — с углами 30°, 45°, 60° и 90°; шаблон 75° не подходит, так как 360° не делится на 75°.

Почему так

Центральные углы секторов вокруг центра круга в сумме дают 360°, поэтому угол шаблона должен укладываться в 360° целое число раз.

Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».

Задача 2

Условие (кратко)

(Комплексное задание 3.) Анна выбирает только один шаблон (30°, 45°, 60°, 75°, 90°). Какое наибольшее число разных видов цветов она сможет высадить?

Решение

Дано

один шаблон из подходящих — $30^\circ$
$45^\circ$
$60^\circ$
$90^\circ$ (см. вопрос 1)

Найти

наибольшее число частей

Число частей равно $\dfrac{360^\circ}{\alpha}$ : при $\alpha = 30^\circ$ — 12, при $45^\circ$ — 8, при $60^\circ$ — 6, при $90^\circ$ — 4. Чем меньше угол шаблона, тем больше частей. Наибольшее число получается с шаблоном $30^\circ$ : $\dfrac{360^\circ}{30^\circ} = 12$ частей. В каждую часть можно посадить свой вид цветов, поэтому видов — 12.

Ответ

12 видов (шаблон 30°, клумба делится на 12 равных секторов)

Почему так

Число равных секторов равно 360°, делённым на центральный угол шаблона; наименьший угол 30° даёт 12 частей.

Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».

Задача 3

Условие (кратко)

(Комплексное задание 3.) Анна хочет посадить 5 видов цветов, разделив клумбу на 5 неравных частей разными шаблонами (30°, 45°, 60°, 75°, 90°). Какими шаблонами она может воспользоваться?

Решение

Дано

5 секторов
углы каждого — из набора $30^\circ$
$45^\circ$
$60^\circ$
$75^\circ$
$90^\circ$

Найти

наборы шаблонов
которые делят клумбу на 5 частей

Пять центральных углов вместе составляют полный угол: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = 360^\circ$ . Одним шаблоном не обойтись: нужен был бы угол $360^\circ : 5 = 72^\circ$ , такого шаблона нет. Пять разных шаблонов по одному разу тоже не подходят: $30^\circ + 45^\circ + 60^\circ + 75^\circ + 90^\circ = 300^\circ < 360^\circ$ . Значит, какие-то шаблоны повторяются.

Переберём наборы (упорядочим углы по возрастанию; самый большой угол не меньше $72^\circ$ , иначе сумма меньше $360^\circ$ ). Подходят ровно 8 наборов:

$30^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$ ;
$30^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 90^\circ + 90^\circ$ ;
$45^\circ + 45^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$ ;
$45^\circ + 60^\circ + 75^\circ + 90^\circ + 90^\circ$ ;
$45^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 90^\circ$ ;
$60^\circ + 60^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ$ ;
$60^\circ + 60^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 90^\circ$ ;
$60^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 75^\circ + 75^\circ$ .

Каждая сумма равна $360^\circ$ . Например, в наборе 4 работают четыре разных шаблона: $$45 + 60 + 75 + 90 + 90 = 360$$ . Шаблон $90^\circ$ участвует почти во всех наборах, а шаблон $75^\circ$ , бесполезный в вопросе 1, здесь пригодится.

Ответ

Подходят 8 наборов с суммой 360°, например 30° + 60° + 90° + 90° + 90°, 45° + 60° + 75° + 90° + 90°, 60° + 75° + 75° + 75° + 75°; одним шаблоном 5 частей не получить (нужен угол 72°).

Почему так

Центральные углы пяти секторов в сумме дают 360°, поэтому нужно подобрать пять углов из набора шаблонов с такой суммой.

Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/kompleksnye-zadaniya/upr-3/