Задача 1
Условие (кратко)
Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник, в каждом из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников они делят каждый многоугольник?
Решение
- Начертите выпуклый пятиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) так, чтобы он лежал по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
- Из вершины \(A_1\) можно провести диагонали только в несоседние вершины: \(A_1A_3\) и \(A_1A_4\) — их \(5 - 3 = 2\). Они делят пятиугольник на треугольники \(A_1A_2A_3\), \(A_1A_3A_4\), \(A_1A_4A_5\) — всего \(3\).
- Так же в выпуклом шестиугольнике \(A_1A_2 \ldots A_6\) из вершины \(A_1\) выходят \(6 - 3 = 3\) диагонали \(A_1A_3\), \(A_1A_4\), \(A_1A_5\). Они дают треугольники \(A_1A_2A_3\), \(A_1A_3A_4\), \(A_1A_4A_5\), \(A_1A_5A_6\) — всего \(4\).
- Результат не зависит от формы чертежа: \(k\) диагоналей из одной вершины всегда дают \(k + 1 = n - 2\) треугольника.
Ответ
Пятиугольник — на 3 треугольника, шестиугольник — на 4 треугольника
Почему так
Диагонали из одной вершины выпуклого n-угольника делят его на n − 2 треугольника.
Подробнее — в теме «Многоугольники. Четырёхугольник».