Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 48

Упражнение 471 к § 48

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, $\angle BAC = \angle ACD$ , $\angle BCA = \angle DAC$ . Доказать: $$ABCD$$ — параллелограмм.

Четырёхугольник выпуклый, поэтому вершины $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от диагонали $$AC$$ .

Углы $$BAC$$ и $$ACD$$ — накрест лежащие при прямых $$AB$$ , $$CD$$ и секущей $$AC$$ . Они равны, значит, $AB \parallel CD$ .
Углы $$BCA$$ и $$DAC$$ — накрест лежащие при прямых $$BC$$ , $$AD$$ и секущей $$AC$$ . Они равны, значит, $BC \parallel AD$ .

Противоположные стороны попарно параллельны, поэтому по определению $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано: AB ∥ CD и BC ∥ AD

Почему так

Равенство накрест лежащих углов даёт параллельность сторон, а две пары параллельных сторон — это определение параллелограмма.

Подробнее — в теме «Параллелограмм».

Условие (кратко)

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если AB ∥ CD и ∠A = ∠C.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, $AB \parallel CD$ , $\angle A = \angle C$ . Доказать: $$ABCD$$ — параллелограмм.

Углы $$A$$ и $$D$$ — односторонние при параллельных прямых $$AB$$ , $$CD$$ и секущей $$AD$$ , поэтому $\angle A + \angle D = 180^\circ$ .
Так как $\angle C = \angle A$ , получаем $\angle C + \angle D = 180^\circ$ .
Углы $$C$$ и $$D$$ — односторонние при прямых $$BC$$ , $$AD$$ и секущей $$CD$$ . Их сумма $180^\circ$ , значит, $BC \parallel AD$ .

Итак, $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$ — по определению $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано: BC ∥ AD, поэтому ABCD — параллелограмм

Почему так

Если сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны.

Подробнее — в теме «Параллелограмм».