Задача 1
Условие (кратко)
В параллелограмме MNPQ перпендикуляр NH к прямой MQ падает на сторону MQ, MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°. Найдите стороны и углы параллелограмма.
Решение
Дано
- \(MNPQ\) — параллелограмм
- \(NH \perp MQ\)
- \(H\) на \(MQ\)
- \(MH = 3\) см
- \(HQ = 5\) см
- \(\angle MNH = 30^\circ\)
Найти
- стороны и углы
- В прямоугольном треугольнике \(MNH\) катет \(MH\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому гипотенуза вдвое больше: \(MN = 2 \cdot 3 = 6\) см.
- \(\angle M = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (сумма острых углов прямоугольного треугольника).
- \(MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8\) см.
- Противоположные стороны равны: \(PQ = MN = 6\) см, \(NP = MQ = 8\) см.
- Противоположные углы равны, соседние в сумме \(180^\circ\): \(\angle P = \angle M = 60^\circ\), \(\angle N = \angle Q = 120^\circ\).
Ответ
MN = PQ = 6 см, NP = QM = 8 см, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°
Почему так
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы; дальше работают свойства сторон и углов параллелограмма.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».