Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. Доказать: \(ABCD\) лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рассмотрим прямую \(AB\).
- \(CD \parallel AB\), поэтому отрезок \(CD\) не имеет общих точек с прямой \(AB\) и целиком лежит по одну сторону от неё.
- Отрезок \(BC\) соединяет точку \(B\) прямой с точкой \(C\), а отрезок \(AD\) — точку \(A\) с точкой \(D\); остальные их точки лежат по ту же сторону, что \(C\) и \(D\).
- Значит, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой \(AB\).
Так же рассуждаем для прямых \(BC\), \(CD\) и \(DA\): каждая параллельна противоположной стороне. Поэтому параллелограмм — выпуклый четырёхугольник.
Ответ
Утверждение доказано: параллелограмм лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону
Почему так
Противоположная сторона параллельна прямой и не пересекает её, поэтому весь четырёхугольник оказывается по одну сторону.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».