Задача 1
Условие (кратко)
Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная BC, она пересекает AC в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника (N — середина AC).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AM = MB\), \(MN \parallel BC\), \(N\) на \(AC\). Доказать: \(AN = NC\).
- Через точку \(C\) проведём прямую, параллельную \(AB\); она пересечёт прямую \(MN\) в точке \(D\).
- В четырёхугольнике \(BCDM\) стороны \(BC \parallel MD\) и \(MB \parallel CD\), поэтому это параллелограмм, и \(MB = CD\) как противоположные стороны. Так как \(AM = MB\), получаем \(AM = CD\).
- Треугольники \(AMN\) и \(CDN\) равны по стороне и двум прилежащим углам: \(AM = CD\), \(\angle MAN = \angle DCN\) (накрест лежащие при \(AB \parallel CD\) и секущей \(AC\)), \(\angle AMN = \angle CDN\) (накрест лежащие при \(AB \parallel CD\) и секущей \(MD\)).
- Отсюда \(AN = NC\), то есть \(N\) — середина \(AC\), и \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\).
Ответ
Утверждение доказано: N — середина AC, MN — средняя линия
Почему так
Достроенный параллелограмм даёт равный отрезок CD = AM, а равенство треугольников — равные половины AC.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».