Задача 1
Условие (кратко)
Из вершин B и D параллелограмма ABCD (AB ≠ BC, угол A острый) проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что BMDK — параллелограмм.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB \ne BC\), \(\angle A\) острый, \(BK \perp AC\), \(DM \perp AC\). Доказать: \(BMDK\) — параллелограмм.
- Прямоугольные треугольники \(ABK\) и \(CDM\) равны по гипотенузе и острому углу: \(AB = CD\) как противоположные стороны, \(\angle BAK = \angle DCM\) как накрест лежащие при \(AB \parallel CD\) и секущей \(AC\). Поэтому \(BK = DM\).
- \(BK \perp AC\) и \(DM \perp AC\), значит, \(BK \parallel DM\) (две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны).
- Точки \(K\) и \(M\) различны: если бы они совпали, общая точка лежала бы на \(AC\) и на \(BD\), то есть была бы точкой пересечения диагоналей, и \(AC \perp BD\). Тогда треугольники \(AOB\) и \(AOD\) были бы равны и \(AB = AD = BC\), что противоречит условию \(AB \ne BC\).
- В четырёхугольнике \(BMDK\) противоположные стороны \(BK\) и \(DM\) равны и параллельны, поэтому по признаку 1° это параллелограмм.
Ответ
Утверждение доказано: BK = DM и BK ∥ DM
Почему так
Равные прямоугольные треугольники дают BK = DM, перпендикуляры к одной прямой параллельны — работает первый признак параллелограмма.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».