Задача 1
Условие (кратко)
На сторонах AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD отмечены точки M, N, P, Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
Решение
Дано: \(AM = CP\), \(BN = DQ\), \(BM = DP\), \(NC = QA\). Доказать: \(ABCD\) и \(MNPQ\) — параллелограммы.
- \(AB = AM + MB = CP + PD = CD\) и \(BC = BN + NC = DQ + QA = DA\). Противоположные стороны \(ABCD\) попарно равны, по признаку 2° \(ABCD\) — параллелограмм, и \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
- Треугольники \(AMQ\) и \(CPN\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AM = CP\), \(AQ = CN\), \(\angle A = \angle C\). Поэтому \(MQ = PN\).
- Треугольники \(BMN\) и \(DPQ\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(BM = DP\), \(BN = DQ\), \(\angle B = \angle D\). Поэтому \(MN = PQ\).
- В четырёхугольнике \(MNPQ\) противоположные стороны попарно равны, по признаку 2° это параллелограмм.
Ответ
Утверждение доказано: оба четырёхугольника — параллелограммы по признаку 2°
Почему так
Второй признак параллелограмма применяется дважды — сначала к ABCD, потом к MNPQ через равные треугольники.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».