Задача 1
Условие (кратко)
Два одинаковых колеса тепловоза с центрами O₁ и O₂ (рис. 194), радиусы O₁A = O₂B, стержень AB равен расстоянию O₁O₂. Докажите, что AB и O₁O₂ параллельны или лежат на одной прямой.
Решение
Дано: \(O_1A = O_2B\), \(AB = O_1O_2\), стержень расположен, как на рисунке: \(A\) и \(B\) по одну сторону от прямой \(O_1O_2\) или на ней. Доказать: \(AB \parallel O_1O_2\) или \(AB\) и \(O_1O_2\) лежат на одной прямой.
- Если точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(O_1O_2\), то отрезки \(AB\) и \(O_1O_2\) лежат на одной прямой.
- Иначе рассмотрим четырёхугольник \(O_1ABO_2\). В нём противоположные стороны попарно равны: \(O_1A = O_2B\) (радиусы одинаковых колёс) и \(AB = O_1O_2\) (по условию).
- По признаку 2° \(O_1ABO_2\) — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны: \(AB \parallel O_1O_2\).
Ответ
Утверждение доказано: AB ∥ O₁O₂ или отрезки лежат на одной прямой
Почему так
Четырёхугольник с попарно равными противоположными сторонами — параллелограмм (признак 2°).
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».