Задача 1
Условие (кратко)
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ с вершинами в серединах отрезков OA, OB, OC, OD — параллелограмм.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(A_1, B_1, C_1, D_1\) — середины \(OA, OB, OC, OD\). Доказать: \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм.
- Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(OA = OC\), \(OB = OD\).
- Значит, \(OA_1 = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{OC}{2} = OC_1\) и \(OB_1 = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{OD}{2} = OD_1\).
- Точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат на диагонали \(AC\) по разные стороны от \(O\), точки \(B_1\) и \(D_1\) — на \(BD\) по разные стороны от \(O\). Поэтому \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) — диагонали четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\), они пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам.
- По признаку 3° \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм.
Ответ
Утверждение доказано: диагонали A₁C₁ и B₁D₁ делятся точкой O пополам
Почему так
Половины равных отрезков равны, поэтому работает третий признак параллелограмма.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».