Задача 1
Условие (кратко)
На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки P и Q так, что PB = QD. Докажите, что APCQ — параллелограмм.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(P\) и \(Q\) на \(BD\), \(PB = QD\). Доказать: \(APCQ\) — параллелограмм.
- Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
- Точки \(P\) и \(Q\) отложены от концов \(B\) и \(D\) на одинаковое расстояние, поэтому они симметрично расположены относительно середины \(O\): \(OP = |OB - PB| = |OD - QD| = OQ\), причём \(P\) и \(Q\) лежат по разные стороны от \(O\) (точки не совпадают с \(O\), иначе четырёхугольника нет).
- В четырёхугольнике \(APCQ\) диагонали \(AC\) и \(PQ\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам.
- По признаку 3° \(APCQ\) — параллелограмм.
Можно рассуждать и через признак 2°, как в указании учебника: из равенства треугольников \(ABP\) и \(CDQ\), \(CBP\) и \(ADQ\) получить \(AP = CQ\) и \(CP = AQ\).
Ответ
Утверждение доказано: диагонали AC и PQ делятся точкой O пополам
Почему так
Точка пересечения диагоналей параллелограмма — середина и AC, и PQ, поэтому APCQ — параллелограмм по признаку 3°.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».