Задача 1
Условие (кратко)
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Докажите, что средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(M\) — середина \(AC\), \(N\) — середина \(BC\). Доказать: \(MN \parallel AB\), \(MN = \dfrac{AB}{2}\).
- На луче \(MN\) за точку \(N\) отложим отрезок \(ND = MN\).
- Треугольники \(MNC\) и \(DNB\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(CN = NB\), \(MN = ND\), \(\angle MNC = \angle DNB\) как вертикальные. Отсюда \(BD = CM\) и \(\angle NCM = \angle NBD\).
- Углы \(NCM\) и \(NBD\) — накрест лежащие при прямых \(AC\), \(BD\) и секущей \(BC\), поэтому \(BD \parallel AC\), то есть \(BD \parallel AM\). Кроме того, \(BD = CM = AM\).
- В четырёхугольнике \(ABDM\) стороны \(AM\) и \(BD\) равны и параллельны — по признаку 1° это параллелограмм. Значит, \(MD \parallel AB\) и \(MD = AB\).
- \(MN = \dfrac{MD}{2} = \dfrac{AB}{2}\), и \(MN \parallel AB\), так как \(MN\) лежит на прямой \(MD\).
Ответ
Утверждение доказано: MN ∥ AB и MN = AB/2
Почему так
Удвоение средней линии даёт параллелограмм по первому признаку, а у него противоположные стороны равны и параллельны.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».