Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 49

Упражнение 486 к § 49

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Решение

Дано: $$ABCD$$ — четырёхугольник, $$K, L, M, N$$ — середины $$AB, BC, CD, DA$$ . Доказать: $$KLMN$$ — параллелограмм.

$$KL$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$ , поэтому (задача 484) $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{AC}{2}$ .
$$NM$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$ , поэтому $NM \parallel AC$ и $NM = \dfrac{AC}{2}$ .
Значит, $$KL = NM$$ и $KL \parallel NM$ (обе параллельны $$AC$$ ).
В четырёхугольнике $$KLMN$$ противоположные стороны $$KL$$ и $$NM$$ равны и параллельны, по признаку 1° это параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано: KL и NM равны и параллельны диагонали AC

Почему так

Две средние линии, параллельные одной диагонали, равны её половине — работает первый признак параллелограмма.