Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 49

Упражнение 496 к § 49

§ 49. Признаки параллелограмма · тема: Признаки параллелограмма

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.

Решение

Даны отрезки $$P_1Q_1$$ , $$P_2Q_2$$ и угол $$hk$$ . Построим параллелограмм $$ABCD$$ с $$AB = P_1Q_1$$ , $$AD = P_2Q_2$$ , $\angle A = \angle hk$ .

Строим угол с вершиной $$A$$ , равный данному углу $$hk$$ .
На одной его стороне откладываем $$AB = P_1Q_1$$ , на другой — $$AD = P_2Q_2$$ .
Через точку $$B$$ проводим прямую, параллельную $$AD$$ , через точку $$D$$ — прямую, параллельную $$AB$$ . Их точка пересечения — $$C$$ .

По построению $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$ , значит, $$ABCD$$ — параллелограмм, его смежные стороны и угол между ними равны данным. Задача всегда имеет решение.

Ответ

Параллелограмм ABCD с данными сторонами AB, AD и углом A

Почему так

Строим треугольник BAD по двум сторонам и углу, затем достраиваем параллелограмм параллельными прямыми.

Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».

Задача 2

Условие (кратко)

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение

Даны отрезки $$P_1Q_1$$ , $$P_2Q_2$$ (диагонали) и угол $$hk$$ . Построим параллелограмм $$ABCD$$ с $$AC = P_1Q_1$$ , $$BD = P_2Q_2$$ и углом $$hk$$ между диагоналями.

Делим каждый данный отрезок пополам, построив его серединный перпендикуляр.
Строим угол с вершиной $$O$$ , равный углу $$hk$$ , и продолжаем его стороны за точку $$O$$ — получаем две пересекающиеся прямые.
На первой прямой по обе стороны от $$O$$ откладываем $OA = OC = \dfrac{P_1Q_1}{2}$ , на второй — $OB = OD = \dfrac{P_2Q_2}{2}$ .
Соединяем последовательно $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ .

Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, по признаку 3° это параллелограмм. $$AC = P_1Q_1$$ , $$BD = P_2Q_2$$ , угол между диагоналями равен данному. Задача всегда имеет решение.

Ответ

Параллелограмм ABCD с диагоналями AC, BD и данным углом между ними

Почему так

Откладываем половины диагоналей от общей точки; по третьему признаку получаем параллелограмм.

Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».

Задача 3

Условие (кратко)

Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали, соединяющей их концы.

Решение

Даны отрезки $$M_1N_1$$ , $$M_2N_2$$ , $$M_3N_3$$ . Нужен параллелограмм $$ABCD$$ с $$AB = M_1N_1$$ , $$AD = M_2N_2$$ , $$BD = M_3N_3$$ .

Анализ: стороны треугольника $$ABD$$ равны трём данным отрезкам, поэтому сначала строим этот треугольник, а затем достраиваем его до параллелограмма.

Строим треугольник $$ABD$$ по трём сторонам: $$AB = M_1N_1$$ , $$AD = M_2N_2$$ , $$BD = M_3N_3$$ .
Через $$B$$ проводим прямую, параллельную $$AD$$ , через $$D$$ — прямую, параллельную $$AB$$ . Их точка пересечения — $$C$$ .

По построению $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$ , значит, $$ABCD$$ — параллелограмм с нужными сторонами и диагональю $$BD$$ .

Исследование: решение есть, только если треугольник $$ABD$$ можно построить, то есть каждый из трёх отрезков меньше суммы двух других. Тогда решение единственно.

Ответ

Параллелограмм ABCD; решение есть, если каждый из отрезков меньше суммы двух других

Почему так

Треугольник по трём сторонам достраивается до параллелограмма прямыми, параллельными его сторонам.

Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки